Найдите корень уравнения $\sqrt{5x-6}=x$. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, поэтому $x\geqslant 0$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $\sqrt{5x-6}=x$, $5x-6=x^2$, $x^2-5x+6=0$. Найдём дискриминант: $D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$. Найдём корни квадратного уравнения: $x_1=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2}=\dfrac{5-1}{2}=2$, $x_2=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2}=\dfrac{5+1}{2}=3$. Оба значения удовлетворяют условию $x\geqslant 0$. Выберем наименьший корень. Ответ: $2$.

Найдите корень уравнения $\sqrt{7x-12}=x$. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, поэтому $x\geqslant 0$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $\sqrt{7x-12}=x$, $7x-12=x^2$, $x^2-7x+12=0$. Найдём дискриминант: $D=(-7)^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1$. Найдём корни квадратного уравнения: $x_1=\dfrac{7-\sqrt{1}}{2}=\dfrac{7-1}{2}=3$, $x_2=\dfrac{7+\sqrt{1}}{2}=\dfrac{7+1}{2}=4$. Оба значения удовлетворяют условию $x\geqslant 0$. Выберем наименьший корень. Ответ: $3$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, $AB = 10$, $BC = \sqrt{19}$. Найдите $\cos A$.

Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt{100 - 19} = \sqrt{81} = 9.$ Косинус угла $A$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9.$ Ответ: $0{,}9$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.

По теореме Пифагора найдём катет $BC$, противолежащий углу $A$: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{51})^2} = \sqrt{100 - 51} = \sqrt{49} = 7$. Синус острого угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$. Ответ: $0{,}7$.

Площадь треугольника $ABC$ равна $24$. $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите $D E$ площадь трапеции $ABED$.

Треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны с коэффициентом подобия $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{1}{2}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$. Значит, $S_{CDE} = \dfrac{1}{4} \cdot 24 = 6$. Площадь трапеции $ABED$ равна разности площадей большого треугольника и маленького: $S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 24 - 6 = 18$. Ответ: $18$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 292 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 462221 балл
Иррациональные уравнения
Найдите корень уравнения $\sqrt{5x-6}=x$ . Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.
id 462231 балл
Иррациональные уравнения
Найдите корень уравнения $\sqrt{7x-12}=x$ . Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.
id 621881 балл
Треугольники
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AB = 10$ , $BC = \sqrt{19}$ . Найдите $\cos A$ .
id 621891 балл
Треугольники
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AB = 10$ , $AC = \sqrt{51}$ . Найдите $\sin A$ .
id 621901 балл
Треугольники
Площадь треугольника $ABC$ равна $24$ . $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$ . Найдите $D E$ площадь трапеции $ABED$ .