Стороны параллелограмма равны $18$ и $20$. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $10$. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 18$ (меньшая) и $b = 20$ (большая). Высота $h_a$, опущенная на меньшую сторону $a = 18$, равна $10$. Площадь параллелограмма $S$ можно найти через сторону $a$ и высоту $h_a$: $S = a \cdot h_a = 18 \cdot 10 = 180$. Теперь найдём высоту $h_b$, опущенную на большую сторону $b = 20$, используя ту же площадь: $S = b \cdot h_b$, $180 = 20 \cdot h_b$, $h_b = \dfrac{180}{20} = 9$. Ответ: $9$.

Основания трапеции равны $4$ и $10$. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Пусть основания трапеции равны $a = 4$ и $b = 10$ ($b > a$). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и делится диагональю на два отрезка, каждый из которых является средней линией в соответствующем треугольнике. Диагональ трапеции делит её на два треугольника. Средняя линия трапеции состоит из двух отрезков: один равен половине меньшего основания, другой — половине большего основания. То есть отрезки равны: $\dfrac{a}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$ и $\dfrac{b}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$. Больший из отрезков равен $5$. Ответ: $5$.

Найдите центральный угол, если он на $28^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Пусть вписанный угол равен $x$. Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $2x$. По условию: $2x = x + 28^\circ.$ Отсюда: $x = 28^\circ.$ Тогда центральный угол: $2x = 56^\circ.$ Ответ: $56^\circ$.

Центральный угол на $32^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть вписанный угол равен $x$. Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $2x$. По условию: $2x = x + 32^\circ.$ Отсюда: $x = 32^\circ.$ Ответ: $32^\circ$.

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $41^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

Угол $ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу, равен: $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 41^\circ = 82^\circ.$ Так как $BD$ — диаметр, то углы $AOB$ и $AOD$ — смежные (в сумме дают $180^\circ$): $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ.$ Ответ: $98^\circ$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 295 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 622011 балл
Четырёхугольники
Стороны параллелограмма равны $18$ и $20$ . Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $10$ . Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.
id 622021 балл
Четырёхугольники
Основания трапеции равны $4$ и $10$ . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
id 622031 балл
Центральные и вписанные углы
Найдите центральный угол, если он на $28^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
id 622041 балл
Центральные и вписанные углы
Центральный угол на $32^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
id 622051 балл
Центральные и вписанные углы
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$ . Угол $ACB$ равен $41^\circ$ . Найдите угол $AOD$ . Ответ дайте в градусах.