Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $BAD$ равен $136^\circ$. Найдите угол $BCD$. Ответ дайте в градусах.

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Углы $BAD$ и $BCD$ — противоположные, значит: $\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ.$ Ответ: $44^\circ$.

Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$, а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $66^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Треугольник $AOC$ — прямоугольный, так как $CA$ — касательная, а $OA$ — радиус, проведённый в точку касания, значит $\angle OAC = 90^\circ$. Угол $ACO$ — это угол при вершине $C$ в треугольнике $AOC$. Сумма углов в треугольнике: $\angle ACO = 180^\circ - \angle OAC - \angle AOC.$ Но $\angle AOC = \angle AOB$, а дуга $AB$ равна $66^\circ$, значит центральный угол $AOB = 66^\circ$. Так как $B$ лежит на $CO$, то $\angle AOC = \angle AOB = 66^\circ$. Тогда: $\angle ACO = 180^\circ - 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ.$ Ответ: $24^\circ$.

Угол $ACO$ равен $57^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$. Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Треугольник $AOC$ — прямоугольный, так как $CA$ — касательная, а $OA$ — радиус, проведённый в точку касания, значит $\angle OAC = 90^\circ$. Угол $ACO = 57^\circ$. Тогда: $\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ.$ Центральный угол $AOB$ равен $\angle AOC = 33^\circ$, так как $B$ лежит на $CO$. Дуга $AB$, заключённая внутри угла $ACO$, равна центральному углу $AOB$: $\overset{\smile}{AB} = 33^\circ.$ Ответ: $33^\circ$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98^\circ$, угол $CAD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол $CAD$ и угол $CBD$ опираются на дугу $CD$, значит: $\angle CBD = \angle CAD = 44^\circ.$ Угол $ABC$ равен сумме углов $ABD$ и $DBC$: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC.$ Подставим известные значения: $98^\circ = \angle ABD + 44^\circ.$ Отсюда: $\angle ABD = 98^\circ - 44^\circ = 54^\circ.$ Ответ: $54^\circ$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 0)$ и $\overrightarrow{b}(1; 4)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$.

Найдём координаты вектора $\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$: $\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = (2; 0) + 3(1; 4) = (2; 0) + (3; 12) = (5; 12).$ Длина вектора: $|\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.$ Ответ: $13$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 297 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 622111 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $BAD$ равен $136^\circ$ . Найдите угол $BCD$ . Ответ дайте в градусах.
id 622121 балл
Касательная к окружности
Найдите угол $ACO$ , если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$ , отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ , а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $66^\circ$ . Ответ дайте в градусах.
id 622131 балл
Касательная к окружности
Угол $ACO$ равен $57^\circ$ . Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$ . Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ . Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
id 622141 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98^\circ$ , угол $CAD$ равен $44^\circ$ . Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах.
id 622151 балл
Операции над векторами. Длина вектора
Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 0)$ и $\overrightarrow{b}(1; 4)$ . Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ .