На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$.

Найдём координаты векторов: $\overrightarrow{a} = (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4),$ $\overrightarrow{b} = (5 - 3; 2 - 3) = (2; -1).$ Вычислим координаты вектора $\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}$: $\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b} = (3; 4) + 4(2; -1) = (3; 4) + (8; -4) = (11; 0).$ Длина вектора: $|\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}| = \sqrt{11^2 + 0^2} = 11.$ Ответ: $11$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(5; 4)$ и $\overrightarrow{b}(8; -9)$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$.

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2.$ Подставим координаты: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5 \cdot 8 + 4 \cdot (-9) = 40 - 36 = 4.$ Ответ: $4$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 1)$ и $\overrightarrow{b}(2; -4)$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}$ и $7\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.

Найдём координаты векторов: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2 + 2; 1 + (-4)) = (4; -3),$ $7\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = 7(2; 1) - (2; -4) = (14; 7) - (2; -4) = (12; 11).$ Скалярное произведение — это сумма произведений соответствующих координат: $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (7\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15.$ Ответ: $15$.

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $3$ и $5$, а угол между ними равен $60^{∘}$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$.

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \alpha,$где $\alpha$ — угол между векторами. Подставим значения: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 15 \cdot \dfrac{1}{2} = 7{,}5.$ Ответ: $7{,}5$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

Найдём координаты векторов: $\overrightarrow{a} = (5 - 1; 8 - 2) = (4; 6),$ $\overrightarrow{b} = (11 - 5; 3 - 5) = (6; -2).$ Скалярное произведение — это сумма произведений соответствующих координат: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cdot 6 + 6 \cdot (-2) = 24 - 12 = 12.$ Ответ: $8$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 298 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 622161 балл
Операции над векторами. Длина вектора
На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$ .
id 622171 балл
Скалярное произведение векторов
Даны векторы $\overrightarrow{a}(5; 4)$ и $\overrightarrow{b}(8; -9)$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .
id 622181 балл
Скалярное произведение векторов
Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 1)$ и $\overrightarrow{b}(2; -4)$ . Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}$ и $7\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ .
id 622191 балл
Скалярное произведение векторов
Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $3$ и $5$ , а угол между ними равен $60^{∘}$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .
id 622201 балл
Скалярное произведение векторов
На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ .