Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $16^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

Углы $AOD$ и $AOB$ — смежные, так как $BD$ — диаметр: $\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 16^\circ = 164^\circ.$ Угол $ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$, на которую опирается центральный угол $AOB$: $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle AOB = \dfrac{164^\circ}{2} = 82^\circ.$ Ответ: $82^\circ$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол $CAD$ и угол $CBD$ опираются на дугу $CD$, значит: $\angle CBD = \angle CAD = 42^\circ.$ Угол $ABC$ равен сумме углов $ABD$ и $DBC$: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC.$ Подставим известные значения: $103^\circ = \angle ABD + 42^\circ.$ Отсюда: $\angle ABD = 103^\circ - 42^\circ = 61^\circ.$ Ответ: $61^\circ$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $61^\circ$, угол $CAD$ равен $37^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол $CAD$ и угол $CBD$ опираются на дугу $CD$, значит: $\angle CBD = \angle CAD = 37^\circ.$ Угол $ABC$ равен сумме углов $ABD$ и $DBC$: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 61^\circ + 37^\circ = 98^\circ.$ Ответ: $98^\circ$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $ABD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $CAD$. Ответ дайте в градусах.

Угол $ABC$ равен сумме углов $ABD$ и $DBC$: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC.$ Подставим известные значения: $120^\circ = 43^\circ + \angle DBC.$ Отсюда: $\angle DBC = 120^\circ - 43^\circ = 77^\circ.$ Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол $CAD$ и угол $CBD$ опираются на дугу $CD$, значит: $\angle CAD = \angle CBD = 77^\circ.$ Ответ: $77^\circ$.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59^\circ$ и $102^\circ$. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Если даны углы $59^\circ$ и $102^\circ$, они не могут быть как противоположными, так как: $59^\circ + 102^\circ = 161^\circ \neq 180^\circ,$ Значит, они соседние. Тогда противоположные им углы: $180^\circ - 59^\circ = 121^\circ,$ $180^\circ - 102^\circ = 78^\circ.$ Больший из оставшихся углов: $121^\circ$. Ответ: $121^\circ$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 296 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 622061 балл
Центральные и вписанные углы
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$ . Угол $AOD$ равен $16^\circ$ . Найдите вписанный угол $ACB$ . Ответ дайте в градусах.
id 622071 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103^\circ$ , угол $CAD$ равен $42^\circ$ . Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах.
id 622081 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $61^\circ$ , угол $CAD$ равен $37^\circ$ . Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.
id 622091 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$ , угол $ABD$ равен $43^\circ$ . Найдите угол $CAD$ . Ответ дайте в градусах.
id 622101 балл
Вписанные и описанные четырехугольники
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59^\circ$ и $102^\circ$ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.