Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$, проведённая к основанию $AD$, делит его на два отрезка, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC=16$ и $AB=10$.

Сумма оснований трапеции равна $10$, а её диагонали равны $6$ и $8$.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A=120^\circ$, $BC=10\sqrt{7}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=150^\circ$, $BC=5\sqrt{5}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=30^\circ$, $B_1C_1=5$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.