Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $BAD$ равен $136^\circ$. Найдите угол $BCD$. Ответ дайте в градусах.

Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$, а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $66^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Угол $ACO$ равен $57^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$. Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98^\circ$, угол $CAD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 0)$ и $\overrightarrow{b}(1; 4)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(5; 4)$ и $\overrightarrow{b}(8; -9)$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 1)$ и $\overrightarrow{b}(2; -4)$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}$ и $7\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $3$ и $5$, а угол между ними равен $60^{∘}$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} A$ известно, что $AB = 8$, $BC = 7$, $AA_{1} = 6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} A$ известно, что $AB = 5$, $BC = 4$, $AA_{1} = 3$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$, $A_{1}$, $B_{1}$.

Объём куба равен $80$. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен $15$.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна $24$. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна $36$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы, объём которой равен $84$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_{1}$ правильной $C$ треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $9$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, площадь основания которой равна $4$, а боковое ребро равно $6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $B$, $C$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $A_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, у которого $AB = 3$, $AD = 9$, $AA_{1} = 4$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} A$ известно, что $AB = 6$, $BC = 5$, $AA_{1} = 4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_{1}$.

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен $15$. У второго цилиндра высота в $3$ раза меньше, а радиус основания в $2$ раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в $9$ раз, а радиус основания останется прежним?

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $4$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?