Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием
$f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ см до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким?

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) $s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}.$ Определите время $t$, если за это время автомобиль проехал $90$ метров.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H = H_0 + bt + at^2,$ где $H$ — высота столба воды (в м), $H_0 = 8$ м, $a = \dfrac{1}{72}$ м/мин$^2$, $b = -\dfrac{2}{3}$ м/мин, $t$ — время в минутах. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 90$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч$^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},$ где $t$ — время в часах. Определите время $t$ (в минутах), если он удалился на $72$ км.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\phi = \omega t + \beta \dfrac{t^2}{2},$ где $t$ — время в минутах, $\omega = 15$ град/мин — начальная угловая скорость, $\beta = 6$ град/мин$^2$ — угловое ускорение. Определите время $t$, если угол намотки достиг $2250^\circ$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h = 1{,}6 + 13t - 5t^2,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $6$ метров?

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы $T = T_0 + bt + at^2,$ где $t$ — время (в мин), $T_0 = 1600$ К, $a = -5$ К/мин$^2$, $b = 105$ К/мин. При температуре свыше $1870$ К прибор может испортиться. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный путь (в км). Найдите ускорение $a$, если при $l = 0{,}5$ км скорость равна $70$ км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 3500$ км/ч$^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный путь (в км). Найдите путь $l$, если скорость равна $70$ км/ч.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте $h$ (в км) над землёй, до линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2R h},$ где $R = 6400$ км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии $48$ км?

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м$^2$·К$^4$) — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в м$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{2401} \cdot 10^{22}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $5{,}7 \cdot 10^{26}$ Вт. Найдите температуру этой звезды.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = c$, где $p$ — давление в газе (в Па), $V$ — объём газа (в м$^3$), $k = \dfrac{5}{3}$, $c = 6{,}4 \cdot 10^6$ Па·м$^5$. Найдите объём $V$ при давлении $p = 2 \cdot 10^5$ Па.

Два тела, массой $m = 6$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 9$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha,$ где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите угол $2\alpha$ (в градусах), если $Q = 243$ Дж.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}},$ где $m_0 = 156$ мг — начальная масса, $T = 8$ мин — период полураспада, $t$ — время (в мин). Найдите время $t$, когда масса станет равна $39$ мг.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 3$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1{,}4$ атм, медленно опускают на дно водоёма. При изотермическом сжатии работа $A$ (в Дж) вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{p_2}{p_1},$ где $\alpha = 10{,}9$ Дж/(моль·К), $T = 300$ К. Найдите конечное давление $p_2$ (в атм), если $A = 29430$ Дж.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха объёмом $V_1 = 120$ л, медленно опускают на дно водоёма. При изотермическом сжатии работа $A$ (в Дж) вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2},$ где $\alpha = 8{,}7$ Дж/(моль·К), $T = 300$ К. Найдите конечный объём $V_2$ (в л), если $A = 10440$ Дж.

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = kx+b$. Найдите значение $f (7)$.

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = ax^{2} + bx + c$. Найдите значение $f (-3)$.

На рисунке изображены графики функций видов $f (x) = ax^{2} + bx + c$ и $g(x) = kx$, пересекающихся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = \dfrac{k}{x}$. Найдите значение $f (30)$.

На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = \dfrac{k}{x}$ и $g(x) = ax + b$, пересекающихся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

На рисунке изображены графики функций видов $f (x) = a\sqrt{x}$ и $g(x) = kx$, пересекающихся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = a^{x}$. Найдите значение $f (5)$.

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = \log_{a} x$. Найдите значение $f (8)$.