Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

а) Решите уравнение
$16^{\sin x}+16^{\sin(x+\pi)}=\dfrac{17}{4}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

а) Решите уравнение
$49^{\sin x}=\left(\dfrac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение
$\dfrac{9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.
б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если $B_1N=6$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}$, $AD=10$, $AA_1=16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=5:3$ и $B_1F:FB=5:11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=1:2$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:5$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=2$, $AD=6$, $AA_1=6$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$.
б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $AA_1B_1$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно этой диагонали, $AB=5$, $BC=3$, $AA_1=4$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$, считая от вершины $B_1$.

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=10$, $AB=12$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $AA_1$ равно $4$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM=BN=3$.
а) Точки $O$ и $O_1$ — центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $CMN$.
б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $CMN$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB=2$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_1$.
а) Докажите, что сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна $6$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M=2MA$, $A_1K=KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ — ромб.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если площадь её основания $ABCD$ равна $3$, а площадь ромба $MB_1KD$ равна $6$.

В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный $(AB=BC)$ треугольник $ABC$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$.
а) Докажите, что $KM\perp AC$.
б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$, если $AB=6$, $AC=8$ и $AA_1=3$.

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AB=AA_1$, $AB:BC=2:5$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $1$ и $2$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен $5$ и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K:KC_1=2:3$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:2$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3$.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $12$, а высота призмы равна $2$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD$.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90^\circ$, $\angle ADC=60^\circ$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $4$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK=1$, $KC=3$.

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB=BC=AC=6\sqrt{2}$.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA=DN:NC=1:2$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $6$. Боковое ребро пирамиды равно $5$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=2:1$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $2AN=3NS$.
а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $BL:LC$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=4$, $SK:KB=1:3$.
а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.

На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

На рёбрах $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3$. Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной $2$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25$.