Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Решите неравенство
$\dfrac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot2^{x^2}+16}\geq0$.

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на сумму $536\,800$ рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $10$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $34 150$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В июле $2026$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит $311 040$ рублей?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $10$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $40 980$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по $58\,564$ рубля, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $106\,964$ рубля, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите $r$.

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года в размере $800$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

• платежи в $2027$ и $2028$ годах должны быть равными;

• к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $1254{,}4$ тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж $2027$ года?

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года в размере $900$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

• платежи в $2027$ и $2028$ годах должны быть равными;

• к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в $2029$ году составит $1027{,}2$ тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.
б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM=BC$ и $CN=AC$.
а) Отрезки $CP$ и $CQ$ — медианы треугольников $ABC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
б) Прямые $MN$ и $AB$ пересекаются в точке $K$, а прямые $BM$ и $AN$ — в точке $L$. Найдите $KL$, если $BC=1$, а $AC=5$.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны.
б) Найдите отношение $AM:MC$, если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны $4$ и $9$ соответственно.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB=6$, $BC=4$, $AC=5$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB=BD$. Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.
а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK$.
б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$, если $BD:DC=5:2$.

В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $30^\circ$, отрезки $AH$ и $AM$ — высота и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM$. Отрезок $MQ$ — высота треугольника $AMC$, а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F$. Известно, что луч $AM$ — биссектриса угла $CAH$.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $CMF$, если $AB=8$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK:KB=1:3$.
а) Докажите, что $AN=2KM$.
б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM$. Найдите длину отрезка прямой $BP$, заключённого внутри треугольника $ABC$, если $AC=6$, $BC=8$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$.
а) Докажите, что $AL\cdot BC=AB\cdot AC$.
б) Найдите $EL$, если $AC=8$, $\operatorname{tg}\angle BCA=\dfrac{1}{2}$.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что $\cos\angle BAD=\dfrac{1}{5}$.
б) Найдите площадь ромба, если $MN=5$.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}$.

На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B=21:10$, $BA_1:A_1C=2:3$, $AB_1:B_1C=2:5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=63$, $BC=25$.

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $\angle ABM=\angle DBC=30^\circ$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC=9$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ$, причём точка $P$ лежит на стороне $AD$, а точка $Q$ — на стороне $CD$. На стороне $AD$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=BP$, $AB=BQ$.
а) Докажите, что $BM=PQ$.
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM=BP=8$, $AB=BQ=10$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6{,}5$.

Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что $CO=KO$.
б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $\dfrac{9}{100}$ площади трапеции $ABCD$.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD=15$ и $AC=2\sqrt{61}$.