Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.
б) Найдите длину отрезка $NO$, если известно, что $AC=10$ и $AB=24$.

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что $\angle ANB=2\angle ABC$.
б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$, если известно, что $AC=14$ и $AB=36$.

Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB=10$, $BC=9$, $CD=30$, $AD=39$.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
б) Найдите $O_1O_2$.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается её боковой стороны $CD$ в точке $M$. Луч $AM$ вторично пересекает окружность в точке $N$, а прямую $BC$ — в точке $K$, причём $AN=4$, $MN=12$.
а) Докажите, что $\angle AMD=\angle MCK$.
б) Найдите меньшее основание трапеции.

Задача $17.47$
Периметр треугольника $ABC$ равен $36$. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что $AC=9$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle ACB=90^\circ$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен $34$, а $BC=32$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $E$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $D$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $3$ и $4$.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$, а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.
б) Найдите $BC$, если радиусы окружностей равны $\sqrt{15}$ и $15$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(5x-2)\cdot\ln(x+a)=(5x-2)\cdot\ln(2x-a)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(x+\ln(x+a))^2=(x-\ln(x+a))^2$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{2-3x}\cdot\ln(16x^2-a^2)=\sqrt{2-3x}\cdot\ln(4x+a)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x+2a}\cdot\ln(x-a)=(x-1)\cdot\ln(x-a)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{4x-1}\cdot\ln(x^2-2x+2-a^2)=0$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a$
имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\dfrac{4x^2-a^2}{x^2+6x+9-a^2}=0$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$a\left(x+\dfrac{4}{x}\right)^2+2\left(x+\dfrac{4}{x}\right)-25a+10=0$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$4^x+(a-6)2^x=(3|a|+2)2^x+(a-6)(3|a|+2)$
имеет ровно один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$x^2+a^2-x-7a=|7x-a|$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$|x^2+a^2-6x+4a|=2x-2a$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$a^2+ax-2x^2-6a-3x+9|x|=0$
имеет менее четырёх различных корней.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$x^4+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|$
имеет менее двух корней.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\left(\left|x-\dfrac{a}{2}\right|+|x+1|\right)^2-7\left(\left|x-\dfrac{a}{2}\right|+|x+1|\right)+4a^2+4=0$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(4x+|x-a|-|3x+1|)^2-(a+1)(4x+|x-a|-|3x+1|)+1=0$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(|x-a-1|+|x-a+1|)^2+a(|x-a-1|+|x-a+1|)+a^2-16=0$
имеет ровно два различных корня.