Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от $1$ до $12$. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна $32$.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна $29$?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на $5$ больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, $40$, $45$, $50$ удачная тройка.

а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа $50$, $60$ и ещё одно число, большее $60$?

б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно $15$?

в) Какое наибольшее количество чисел от $1$ до $100$ включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на $1001$ фотографию больше, чем Маша, и фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение семи дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение восьми дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше $40$ фотографий?

Есть $4$ камня, каждый массой $7$ тонн, и $9$ камней, каждый массой $22$ тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила $8$ тонн?

б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?

в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Есть $16$ монет по $2$ рубля и $29$ монет по $5$ рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму $175$ рублей?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму $176$ рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по $1$ рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от $1$ рубля до $180$ рублей включительно?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $5$ писем, или $16$ писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно $7$ писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на $20$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на $21$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на $15$?

в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k$.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{∘}$, $AB = 5$, $BC = 4$. Найдите $\cos A$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{91}$. Найдите $\sin A$.

Площадь треугольника $ABC$ равна $60$. $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите $D E$ площадь трапеции $ABED$.

Площадь треугольника $ABC$ равна $10$. $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь треугольника $CDE$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $54^{∘}$, $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $30^{∘}$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $55^{∘}$, $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $29^{∘}$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $70^\circ$. Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $73^\circ$. Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

Две стороны треугольника равны $21$ и $28$. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна $15$. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих $D$ сторон треугольника.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $91^{∘}$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. $C$ Угол $C$ равен $168^{∘}$. Угол $CBD$ внешний. Найдите величину угла $CBD$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $2\sqrt{3}$, угол $C$ равен $120^{∘}$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $28$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $37$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.

Стороны параллелограмма равны $24$ и $27$. Высота, $B C$ опущенная на меньшую из этих сторон, равна $18$. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.

Найдите центральный угол, если он на $36^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Центральный угол на $27^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.