Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(3x+|x-a|+|2x+a+1|)^2-a(3x+|x-a|+|2x+a+1|)+a^2-16=0$
имеет ровно один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$\left(4x-3\left|x+\dfrac{a}{2}\right|+|x-1|+\dfrac{3a}{2}\right)^2-(a+1)\left(4x-3\left|x+\dfrac{a}{2}\right|+|x-1|+\dfrac{3a}{2}\right)+4=0$
имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$(2x+a+1-\tg x)^2=(2x+a-1+\tg x)^2$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;\pi]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (xy^2-3xy-3y+9)\sqrt{3-x}=0,\\ y=ax \end{cases}$
имеет ровно три различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=ax-10 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\ y=3x+a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\ y=ax-2a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \log_{11}(a-y^2)=\log_{11}(a-x^2),\\ x^2+y^2=2x+6y \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \sqrt{36-y^2}=\sqrt{36-a^2x^2},\\ x^2+y^2=2x+6y \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x+ay+a-2=0,\\ x|y|+x-2=0 \end{cases}$
имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x^4+y^2=a^2,\\ x^2+y=|2a-4| \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} y=|x-a|-4,\\ 4|y|+x^2+8x=0 \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x| \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все положительные значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} |x|+|y|=a,\\ y=\sqrt{x+4} \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система
$\begin{cases} 2^{|x|+3}+7|x|+1=8y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1 \end{cases}$
имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ x^2+y=xy+x \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x+ay-5)(x+ay-5a)=0,\\ x^2+y^2=16 \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} y=(a+2)x^2+2ax+a-2,\\ y^2=x^2 \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x^2+y^2=6x+8y-9,\\ x^2+y^2=a^2 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x^4-y^4=12a-28,\\ x^2+y^2=a \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,\\ x^2=y^2 \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} 2a\leq x,\\ 6x>x^2+a^2,\\ x+a\leq6 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} a(x-1)\geq4,\\ 2\sqrt{x-2}\geq a,\\ 3x<a+14 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а затем к получившейся сумме прибавляют $3$.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число $224$?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число $314$?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$ за один ход можно получить пару $(a + 2; b - 1)$ или $(a - 1; b + 2)$ при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $(5; 7)$.

а) Можно ли за $50$ таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно $100$?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна $400$?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили $100$?