Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD=15$ и $AC=2\sqrt{61}$.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO$, $CN=NO$.
а) Докажите, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение $AM:MB$, если $AO=OC$ и $BC:AD=17:31$.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $AD$.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=CO$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=1:2$.

Сумма оснований трапеции равна $13$, а её диагонали равны $5$ и $12$.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A=45^\circ$, $B_1C_1=6$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K$.
а) Докажите, что $BK=BE$.
б) Найдите отношение $KE:AC$, если $\angle BAD=30^\circ$.

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AE=AK$.
б) Найдите отношение $KE:BD$, если $\angle BAD=60^\circ$.

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает сторону $CD$ в точках $K$ и $D$.
а) Докажите, что $AE=AK$.
б) Найдите $AD$, если $CE=10$, $DK=9$ и $\cos\angle BAD=0{,}2$.

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $M$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $N$.
а) Докажите, что $AM=AN$.
б) Найдите отношение $CD:DN$, если $AB:BC=1:2$, а $\cos\angle BAD=\dfrac{2}{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=60^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt{3}$.

На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B=8:3$, $BA_1:A_1C=1:2$, $AB_1:B_1C=1:3$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=16$, $BC=15$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $AH=AO$.
б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $\angle ABC=45^\circ$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=8$. Известно, что $AB=BC=CD=12$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.

Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4$, радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $CC_1$ и биссектрисы $BB_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $\angle ABC=40^\circ$, $\angle ACB=85^\circ$.
а) Докажите, что $BM=CN$.
б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна $6$.

Окружность с центром в точке $O$ высекает на всех сторонах трапеции $ABCD$ равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK=15$, $KL=6$, $LB=5$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.
а) Докажите, что $BC=DE$.
б) Найдите длину стороны $AB$, если известно, что $DE=4$, $AD=7$, $BE=8$ и $AB>BC$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=3$, $BC=DE=4$.
а) Докажите, что $AC=CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD=6$.

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.
а) Докажите, что $\angle BAM=\angle CAD$.
б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB=\sqrt{10}$, а $BC=2BM$.

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.
а) Докажите, что $\angle BB_1C_1=\angle BAH$.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1=18$ и $\angle BAC=30^\circ$.

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle BKM=45^\circ$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если сторона $AB=2\sqrt{10}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что $AP=BP$.
б) Найдите длину стороны $BC$, если $AB=7$, $AC=4$.

Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=23$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle NKL=\angle KLM=120^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=1$.

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается отрезка $MN$ в точке $L$.
а) Докажите, что $AB+BC=4AC$.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $ML=\dfrac{9}{5}$, $LN=3$.