Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите значение выражения $2\sqrt{3} \cos^{2} \dfrac{13\pi}{12} - \sqrt{3}$.

Найдите значение выражения $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \sin^{2} \dfrac{7\pi}{8}$.

Найдите значение выражения $4\sqrt{3} \cos^{2} \dfrac{23\pi}{12} - 4\sqrt{3} \sin^{2} \dfrac{23\pi}{12}$.

Найдите значение выражения $3 \sin \dfrac{13\pi}{12} \cdot \cos \dfrac{13\pi}{12}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{8 \sin 64^{∘} \cdot \cos 64^{∘}}{\sin 128_{∘}}$.

Найдите значение выражения $3 \cos 2\alpha$ , если $\sin \alpha=0{,}2$.

Найдите $\operatorname{tg} \alpha$ , если $\sin \alpha\ = \dfrac{\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha\ \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Найдите $\sin \alpha$ , если $\cos \alpha\ = - \dfrac{\sqrt{21}}{5}$ и $\alpha\ \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi \right)$.

Найдите значение выражения $26\sqrt{2} \cos \dfrac{\pi}{4} \cos \dfrac{4\pi}{3}$.

Найдите значение выражения $18\sqrt{2} \operatorname{tg} \dfrac{\pi}{4} \sin \dfrac{\pi}{4}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-10;\ 3)$. Найдите количество корней уравнения $f'(x)=0$, принадлежащих отрезку $[-7;\ 2]$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-5;\ 4)$. Найдите корень уравнения $f'(x)=0$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки: $-2$, $1$, $3$, $4$. В какой из этих точек значение производной функции $f(x)$ наибольшее? В ответе укажите эту точку.

На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-12;\ 12)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-6;\ 11]$.

На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-9;\ 4)$. В какой точке отрезка $[-2;\ 3]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-4;\ 8)$. Найдите точку экстремума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[1;\ 6]$.

Сила тока $I ($в $A)$ в электросети вычисляется по закону Ома$: I = \dfrac{U}{R}$, где $U$ — напряжение электросети (в В), $R$ — сопротивление подключаемого электроприбора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает $5$ А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть у электроприбора, подключаемого к электросети с напряжением $220$ В, чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_{1} = 36$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого $R_{2}$(в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R = \dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $20$ Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 180$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $170$ В? Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0} = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f = \dfrac{f_{0}}{1 - \frac{v}{c}}$, где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $299$ МГц. Скорость погружения батискафа $v ($в м/с) вычисляется по формуле $v = c \cdot \dfrac{f - f_{0}}{f + f_{0}}$, где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_{0}$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна $5$ м/с. Ответ дайте в МГц.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v ($в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f ($в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $f_{0} = 160$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 8$ м/с и $v = 11$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна $170$ Гц? Ответ дайте в м/с.