Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_{5} 9}{\log_{5} 18} - \log_{18} \dfrac{1}{2}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{3 \sin 68^{∘}}{\cos 34^{∘} \cdot \cos 56^{∘}}$.

Найдите значение выражения $6\sqrt{3} \cos^{2} \dfrac{11\pi}{12} - 3\sqrt{3}$.

Найдите значение выражения $\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \sin^{2} \dfrac{15\pi}{8}$.

Найдите значение выражения $3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} \sin^{2} \dfrac{13\pi}{12}$.

Найдите значение выражения $3\sqrt{2} \cos^{2} \dfrac{9\pi}{8} - 3\sqrt{2} \sin^{2} \dfrac{9\pi}{8}$.

Найдите значение выражения $5\sqrt{2} \cos^{2} \dfrac{7\pi}{8} - 5\sqrt{2} \sin^{2} \dfrac{7\pi}{8}$.

Найдите значение выражения $\sqrt{2} \sin \dfrac{7\pi}{8} \cdot \cos \dfrac{7\pi}{8}$.

Найдите значение выражения $5\sqrt{2} \sin \dfrac{3\pi}{8} \cdot \cos \dfrac{3\pi}{8}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{\sin 75^{∘} \cdot \cos 75^{∘}}{- \sin 150^{∘}}$.

Найдите значение выражения $3 \cos 2\alpha$ , если $\cos \alpha\ = -0{,}8$.

Найдите значение выражения $3 \cos 2\alpha$ , если $\sin \alpha\ = 0{,}6$.

Найдите значение выражения $6 \cos 2\alpha$ , если $\sin \alpha\ = -0{,}8$.

Найдите $\operatorname{tg} \alpha$ , если $\cos \alpha\ = - \dfrac{\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha\ \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi \right)$.

Найдите $\operatorname{tg} \alpha$ , если $\cos \alpha\ = \dfrac{5\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha\ \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Найдите $\sin \alpha$ , если $\cos \alpha\ = \dfrac{\sqrt{15}}{8}$ и $\alpha\ \in \left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi \right)$.

Найдите значение выражения $5 \sin \dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{4\pi}{3}$.

Найдите значение выражения $-9\sqrt{3} \operatorname{tg} \dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{5\pi}{6}$.

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ положительна.

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ положительна.

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$, $x_{10}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ положительна.

Сила тока $I$ (в А) в электросети вычисляется по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R},$ где $U = 220$ В — напряжение, $R$ — сопротивление прибора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает $8{,}8$ А. Определите наименьшее сопротивление прибора, при котором сеть продолжает работать.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой $R_1 = 21$ Ом. Параллельно с ней подключают тостер с сопротивлением $R_2$ (в Ом). Общее сопротивление при параллельном соединении: $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.$Для нормальной работы сети общее сопротивление должно быть не меньше $18$ Ом. Найдите наименьшее возможное $R_2$.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 130$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом подключают нагрузку $R$ (в Ом). Напряжение на нагрузке вычисляется по формуле $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}.$ При каком $R$ напряжение будет равно $120$ В? Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 192$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f = \dfrac{f_0}{1 - \dfrac{v}{c}},$ где $c = 300$ м/с — скорость звука. Человек различает сигналы, если они отличаются не менее чем на $8$ Гц. Определите минимальную скорость $v$, при которой сигналы будут различимы.