В однородные магнитные поля влетели две частицы с одинаковыми массами и отношением зарядов\(\frac{q_2}{q_1}=2\), векторы магнитной индукции полей перпендикулярны скорости частиц. Первая частица влетела в поле с индукцией\(B_1\), вторая - в поле с индукцией\(B_2\). Найдите отношение кинетических энергий частиц\(\frac{W_2}{W_1}\), если радиус их траекторий одинаков, а отношение индукций\(\frac{B_1}{B_2}=2\).

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца, которая сообщает ей центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона следует формула для радиуса окружности траектории: \(R = \frac{m \cdot v}{q \cdot B}\implies v=\frac{qBR}{m}\) Запишем отношение скоростей второй и первой частиц, учитывая, что их массы (\(m_1 = m_2 = m\)) и радиусы траекторий (\(R_1 = R_2 = R\)) одинаковы: \(\frac{v_2}{v_1} = \frac{q_2 \cdot B_2 \cdot R / m}{q_1 \cdot B_1 \cdot R / m} = \frac{q_2}{q_1} \cdot \frac{B_2}{B_1}\) По условию задачи известны следующие отношения: \(\frac{q_2}{q_1} = 2\) \(\frac{B_1}{B_2} = 2 \implies \frac{B_2}{B_1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\) Подставим эти значения в формулу отношения скоростей: \(\frac{v_2}{v_1} = 2 \cdot 0{,}5 = 1 \implies v_2 = v_1\) Формула кинетической энергии имеет вид \(W = \frac{m \cdot v^2}{2}\). Так как массы и скорости обеих частиц равны, составим их отношение: \(\frac{W_2}{W_1} = \frac{m \cdot v_2^2 / 2}{m \cdot v_1^2 / 2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = 1^2 = 1\)

Для исследования частиц используется масс-спектрометр, в камере которого создается однородное магнитное поле. Перпендикулярно вектору индукции и стенке\(AC\)камеры устройства влетает пучок ионов со скоростью\(v=3\cdot 10^4\)\(м/с\)через отверстие\(A\), как показано на рисунке. В результате движения ионы попадают в точку\(C\), при этом\(AC=20\)\(см,\)а отношение массы иона к его заряду \(\frac{m}{q}=8\cdot 10^{-7}\)\(кг/Кл.\) Определите модуль индукции магнитного поля.

Расстояние \(AC\) является диаметром окружности: \(AC=2R\) Отсюда находим радиус траектории \(R\): \(R=\frac{AC}{2}=\frac{0,2\text{\ м}}{2}=0,1\text{\ м}\) На заряженную частицу действует сила Лоренца: \(F_{L}=q\cdot v\cdot B\) Она сообщает иону центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона: \(q\cdot v\cdot B=\frac{m\cdot v^{2}}{R}\) Выразим модуль магнитной индукции \(B\): \(B=\frac{m\cdot v}{q\cdot R}=\left(\frac{m}{q}\right)\cdot \frac{v}{R}\) \(B=8\cdot 10^{-7}\text{\ кг/Кл}\cdot \frac{3\cdot 10^{4}\text{\ м/с}}{0,1\text{\ м}}\) \(B=\frac{24\cdot 10^{-3}}{0,1}=0,24\text{\ Тл}\)

Проводящую рамку площадью\(2\) м\(^2\)пронизывают линии индукции однородного магнитного поля, образуя с поверхностью рамки угол\(30^\circ\). Созданный магнитный поток равен\(0,2\)\(Вб.\) Найдите модуль вектора индукции магнитного поля. Ответ дайте в\(Тл.\)

Формула магнитного потока имеет вид: \(\Phi =B\cdot S\cdot \cos \alpha\), где \(\alpha\) — угол между вектором магнитной индукции \(\vec{B}\) и нормалью к плоскости рамки. В условии дан угол между вектором индукции и самой поверхностью рамки (\(\phi = 30^\circ\)). Следовательно, угол с нормалью равен: \(\alpha =90^{\circ }-\phi =90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }\) Выразим модуль вектора индукции \(B\) из исходной формулы: \(B=\frac{\Phi }{S\cdot \cos \alpha }\) \(B=\frac{0,2}{2\cdot 0,5}=\frac{0,2}{1}=0,2\text{\ Тл}\)

Проводящая рамка, изготовленная в форме квадрата со стороной\(a\), находится в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Известно, что за время опыта\(t\)индукция магнитного поля равномерно увеличивается от\(0\)до\(B_{max}\). Далее рамку заменяют на другую, сторона которой\(3a\), и повторяют опыт. Определите, во сколько раз ЭДС индукции, возникающая во втором опыте, больше ЭДС индукции, возникающей в первом.

Первый опыт: площадь рамки равна \(S_1 = a^2\), скорость изменения индукции \(\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{B_{max}}{t}\), а ЭДС индукции составляет \(\mathscr{E}_1 = S_1 \frac{B_{max}}{t} = a^2 \frac{B_{max}}{t}\). Второй опыт: сторона рамки равна \(3a\), площадь увеличивается до \(S_2 = (3a)^2 = 9a^2\), а новая ЭДС равна \(\mathscr{E}_2 = 9a^2 \frac{B_{max}}{t}\). \(\frac{\mathscr{E}_2}{\mathscr{E}_1} = \frac{9a^2 B_{max} / t}{a^2 B_{max} / t} = 9\).

В качестве эксперимента однородное магнитное поле было создано в некоторой области пространства (см. рисунок). Квадратная металлическая рамка движется через границу этой области с постоянной скоростью \(\vec{v}\), направленной вдоль плоскости рамки и перпендикулярной вектору магнитной индукции\(\vec{B}\). При этом в процессе движения генерируется\(ЭДС\)индукции, равная \(10\)\(мВ.\)Далее скорость рамки увеличивают в\(4\)раза. Чему станет равна\(ЭДС\)индукции? Ответ дайте в \(мВ\).

При движении металлической рамки через границу магнитного поля изменяется магнитный поток, поэтому возникает ЭДС индукции: \(\mathcal{E}=B l v\) где \(B\) — магнитная индукция, \(l\) — длина стороны рамки, пересекающей границу поля, \(v\) — скорость движения рамки. Так как \(B\) и \(l\) не изменяются, \(ЭДС\) прямо пропорциональна скорости: \(\dfrac{\mathcal{E}_2}{\mathcal{E}_1}=\dfrac{v_2}{v_1}\) Подставим значение скорости: \(\dfrac{\mathcal{E}_2}{10}=4\) \(\mathcal{E}_2=40\text{ мВ}\)