На какую длину волны настроен идеальный колебательный контур, сила тока в катушке которого меняется со временем согласно гармоническому закону \(I=8\pi^2\sin (\frac{2\cdot 10^6}{6}\pi t+\frac{\pi}{3})\), где все величины выражены в СИ? Ответ дайте в м.

Общий вид уравнения гармонических колебаний силы тока имеет вид \(I = I_m \sin(\omega t + \phi_0)\), где коэффициент перед временем \(t\) представляет собой циклическую (угловую) частоту колебаний \(\omega\). Таким образом, из уравнения находим: \(\omega =\frac{2\cdot 10^{6}\pi }{6}=\frac{10^{6}\pi }{3}\text{\ рад/с}\) \(\lambda =\frac{2\pi c}{\omega }=\frac{2\pi \cdot 3\cdot 10^{8}}{\frac{10^{6}\pi }{3}}=\frac{2\pi \cdot 3\cdot 10^{8}\cdot 3}{10^{6}\pi }=2\cdot 3\cdot 10^{8}\cdot \frac{3}{10^{6}}=18\cdot 10^{2}=1800\text{\ м}\)

Ученику в ходе лабораторной работы по исследованию электромагнитных колебаний выдано две катушки индуктивностями \(L_1 = 0{,}8\,\text{мГн}, \quad L_2 = 2\,\text{мГн}\)и два конденсатора емкостями \(C_1 = 20\,\text{нФ}, \quad C_2 = 35\,\text{нФ}\). Определите максимальную циклическую частоту собственных колебаний контура, собранного из выданных ученику приборов. Ответ дайте в \(\text{с}^{-1}\).

Максимальная циклическая частота: \(\omega_m = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot 20 \cdot 10^{-9}}} = 250000\,\text{с}^{-1}\)

Определите, во сколько раз период колебаний в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью \(L_1 = 1\,\text{мГн}\) и конденсатора ёмкостью \(C_1 = 45\,\text{нФ}\) больше периода колебаний колебательного контура, параметры приборов которого соответствуют \(L_2 = 0,5\,\text{мГн}\) и \(C_2 = 10\,\text{нФ}\).

Формула Томсона: \(T = 2\pi \sqrt{LC}\) Отношение периодов: \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{L_1 C_1}}{2\pi \sqrt{L_2 C_2}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = 3\)

График зависимости силы тока\(I\)от времени\(t\)при свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре показан на рисунке ниже. Каким станет период свободных колебаний в контуре, если катушку индуктивности в этом контуре заменить на другую катушку, индуктивность которой в\(16\)раз меньше? Ответ дайте в\(мкс.\)

Определение начального периода (\(T_{1}\)): Период — это время одного полного колебания. По графику видно, что волна совершает полный цикл (подъем и спад) от \(t = 0\) до \(t = 4\)\(мкс.\) Значит, начальный период \(T_1 = 4\)\(мкс\). Расчет нового периода (\(T_{2}\)): По формуле Томсона (\(T = 2\pi\sqrt{LC}\)), при уменьшении индуктивности \(L\) в 16 раз период уменьшается в \(\sqrt{16} = 4\) раза: \(T_{2}=\dfrac{T_{1}}{4}=\dfrac{4\text{\ мкс}}{4}=1\text{\ мкс}\)

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, наблюдаются гармонические электромагнитные колебания с периодом \(16\)\(мкс.\)На одной из обкладок конденсатора при этих колебаниях максимальный заряд равен \(10\)\(мкКл.\)Чему станет равен модуль заряда этой обкладки в момент времени \(t=12\)\(мкс,\)если в начальный момент времени ее заряд равен нулю. Ответ дайте в\(мкКл.\)

Так как в начальный момент времени (\(t = 0\)) заряд на обкладке конденсатора равен нулю, зависимость заряда от времени описывается гармонической функцией синуса: \(q(t)=q_{max}\cdot \sin (\omega t)\) Циклическая частота связана с периодом колебаний \(T = 16\) \(мкс\) формулой: \(\omega =\frac{2\pi }{T}\) Подставим это выражение в уравнение зависимости заряда от времени: \(q(t)=q_{max}\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)\) \(q(12)=10\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{16}\cdot 12\right)=10\cdot \sin \left(\frac{24\pi }{16}\right)=10\cdot \sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)\) Так как \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\), получаем: \(|q(12)|=|10\cdot (-1)|=10\text{\ мкКл}\)