Металлический шарик находится на заземленной металлической пластине. Над ним параллельно земле расположена вторая пластина, подключенная к отрицательному полюсу высоковольтного выпрямителя. Опишите движение шарика, используя законы механики и электростатики.

Начальное состояние. Верхняя пластина заряжена отрицательно \(( -Q ).\) Нижняя пластина и шарик нейтральны. Электростатическая индукция. Отрицательный заряд верхней пластины индуцирует: Положительный заряд на шарике \(( +q ).\) Отрицательный заряд на нижней пластине \(( -q ),\) который уходит в землю. Сила Кулона притягивает шарик к верхней пластине: \(F = \frac{k|Q|q}{d^2}\) Касание верхней пластины. Шарик приобретает отрицательный заряд (электризация через контакт). Теперь шарик отталкивается от верхней пластины: \(F = \frac{kQ^2}{d^2} \quad \text{(отталкивание)}\) Падение на нижнюю пластину. Отрицательный заряд шарика нейтрализуется. Процесс повторяется циклически. Движение шарика: \(1.\) Подъем к верхней пластине (притяжение). \(2.\) Отталкивание после касания. \(3.\) Падение вниз. \(4.\) Повторение цикла. Ускорение при подъеме: \(a = \frac{F- mg}{m}\)Время подъема/падения:\(t = \sqrt{\frac{2d}{a}}\) Ответ: Шарик совершает периодические колебания между пластинами: \(1.\) Притягивается к верхней пластине. \(2.\) Отталкивается после контакта. \(3.\) Падает и разряжается на нижней пластине. \(4.\) Цикл повторяется. Использованные законы: \(1.\) Закон Кулона. \(2.\) Явление электростатической индукции. \(3.\) Электризация через контакт. \(4.\) Второй закон Ньютона.

К потолку лифта прикреплена пружина жесткостью \(k = 100\,\frac{\text{Н}}{\text{м}},\) к которой подвешен груз неизвестной массы \(m.\) Лифт начинает движение вниз с ускорением \(a = 2.5\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\) Определите массу груза, если удлинение пружины в состоянии покоя относительно движущегося лифта составляет \(x = 1.5\,\text{см} = 0.015\,\text{м}.\) Ускорение свободного падения \(g = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\)

Условие равновесия в покоящемся лифте. Сила тяжести уравновешивается силой упругости: \(mg = kx_0\) где \(x_0\) — удлинение пружины в покое. Уравнение движения для ускоряющегося лифта. В системе отсчета, связанной с лифтом, на груз действуют: Сила тяжести \(mg\) (вниз), Сила упругости \(F_{\text{упр}} = kx\) (вверх). По второму закону Ньютона: \(ma = mg- kx\) Выражаем массу \(m\): \(m(g- a) = kx \implies m = \frac{kx}{g- a}\) Подставляем значения: \(m = \frac{100 \cdot 0.015}{10- 2.5} = \frac{1.5}{7.5} = 0.2\,\text{кг}\) Ответ: масса груза равна \(m = 0.2\,\text{кг}.\)

Высокий вертикальный цилиндр закрыт тонким поршнем массой \(1\,\text{кг}\) и площадью \(100\,\text{см}^2.\) Под поршнем находится идеальный газ. Атмосферное давление над поршнем равно \(101\,\text{кПа},\) расстояние между дном цилиндра и поршнем \(50\,\text{см}.\) Цилиндр перевернули так, что поршень оказался снизу, но не выпал из цилиндра. На сколько увеличилось расстояние между дном цилиндра и поршнем в состоянии равновесия? Температура газа в исходном и конечном состоянии одинакова. Ответ дайте в сантиметрах.

\(1.\) Переводим единицы в \(СИ{:}\) \(S = 100\,\text{см}^2 = 0.01\,\text{м}^2\) \(h_1 = 50\,\text{см} = 0.5\,\text{м}\) \(p_0 = 101\,\text{кПа} = 101\space000\,\text{Па}\) \(2.\) Давление газа в исходном положении (поршень сверху): \(p_1 = p_0 + \frac{mg}{S} = 101\space000 + \frac{1 \cdot 10}{0.01} = 102\space000\,\text{Па}\) \(3.\) Давление газа в конечном положении (поршень снизу): \(p_2 = p_0-\frac{mg}{S} = 101\space000 -\frac{1 \cdot 10}{0.01} = 100\space000\,\text{Па}\) \(4.\) Процесс изотермический: \(p_1 V_1 = p_2 V_2\) \(p_1 S h_1 = p_2 S h_2\) \(h_2 = \frac{p_1 h_1}{p_2} = \frac{102\space000 \cdot 0.5}{100\space000} = 0.51\,\text{м} = 51\,\text{см}\) \(5.\) Находим увеличение расстояния: \(\Delta h = h_2 -h_1 = 51 -50 = 1\,\text{см}\) Ответ: расстояние увеличилось на \(1\,\text{см}.\)

Изобретатель массой \(m = 60\,\text{кг}\) планирует подняться в воздух, используя \(n = 5\ 000\) воздушных шариков, наполненных гелием. Определите, до какого объема \(V\) необходимо надуть каждый шарик, чтобы изобретатель смог взлететь при нормальных условиях: Массой оболочек шариков и объемом тела изобретателя пренебречь. Молярная масса воздуха \(M_{\text{возд}} = 0.029\,\text{кг/моль},\) молярная масса гелия \(M_{\text{He}} = 0.004\,\text{кг/моль}.\)

Условие подъема. Сумма сил тяжести изобретателя и гелия должна быть равна силе Архимеда, действующей на все шарики: \(mg + m_{\text{He}}g = F_A\)где: \(m_{He} = \rho_{He} \cdot nV\) — масса гелия, \(F_A = \rho_{возд} \cdot nV \cdot g\) — сила Архимеда. Выражение для плотностей. Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для нахождения плотностей: \(\rho = \frac{pM}{RT}\)Для воздуха: \(\rho_{\text{возд}} = \frac{p_0 M_{\text{возд}}}{RT}\)Для гелия: \(\rho_{\text{He}} = \frac{p_0 M_{\text{He}}}{RT}\) Подстановка в условие равновесия: \(mg + \rho_{\text{He}} \cdot nV \cdot g = \rho_{\text{возд}} \cdot nV \cdot g\)Сокращаем \(g\) и выражаем \(V\): \(m = nV (\rho_{\text{возд}}- \rho_{\text{He}})\) \(V = \frac{m}{n (\rho_{\text{возд}}- \rho_{\text{He}})}\) Подставляем числовые значения: \(\rho_{\text{возд}} = \frac{10^5 \cdot 0.029}{8.31 \cdot 300} \approx 1.16\,\text{кг/м}^3\) \(\rho_{\text{He}} = \frac{10^5 \cdot 0.004}{8.31 \cdot 300} \approx 0.16\,\text{кг/м}^3\) Расчет объема одного шарика: \(V = \frac{60}{5\ 000 (1.16- 0.16)} = \frac{60}{5000 \cdot 1} = 0.012\,\text{м}^3 = 12\,\text{л}\) Ответ: каждый шарик необходимо надуть до объема \(12\,\text{л}.\)

В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, конденсатор \(C\) изначально не заряжен, а отношение \(\dfrac{R_2}{R_1} = 4.\) Ключ \(K\) переводят в положение \(1.\) Затем, спустя большой промежуток времени, ключ переводят в положение \(2\) и снова ждут в течение большого промежутка времени. В какое число раз \(n\) увеличится энергия конденсатора в результате перевода ключа в положение \(2?\)

\(1.\) После установления равновесия в положении \(1\) конденсатор заряжается до напряжения \(U_1\) на резисторе \(R_1.\) По закону Ома для участка цепи: \(U_1 = I R_1\) где \(I\) — сила тока в цепи. \(2.\) После переключения в положение \(2\) конденсатор перезаряжается до напряжения \(U_2\) на участке \(R_1 + R_2\): \(U_2 = I (R_1 + R_2)\) \(3.\) Энергия конденсатора пропорциональна квадрату напряжения: \(E = \frac{C U^2}{2}\) поэтому отношение энергий: \(n = \frac{E_2}{E_1} = \frac{U_2^2}{U_1^2}\) \(4.\) Подставляем выражения для напряжений: \(n = \left( \frac{U_2}{U_1} \right)^2 = \left( \frac{I (R_1 + R_2)}{I R_1} \right)^2 = \left( \frac{R_1 + R_2}{R_1} \right)^2 = \left( 1 + \frac{R_2}{R_1} \right)^2\) \(5.\) Подставляем данное отношение \(\dfrac{R_2}{R_1} = 4\): \(n = (1 + 4)^2 = 5^2 = 25\) Ответ: энергия конденсатора увеличится в \(25\) раз.