Пластилиновый шарик бросают с горизонтальной поверхности Земли в момент времени \(t = 0\) с начальной скоростью \(\vec{v}_0 ,\) направленной под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту. Одновременно с некоторой высоты начинает свободно падать из состояния покоя второй такой же шарик. Через время \(t = 1\) с шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе, после чего их совместная скорость направлена строго горизонтально. Найдите величину начальной скорости \(v_0\) брошенного шарика. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте используемые физические законы.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Шарики считаем материальными точками. До столкновения движение описывается законами равноускоренного движения с ускорением \(\vec{g} .\) При столкновении внутренние силы много больше силы тяжести → применяем закон сохранения импульса. После удара скорость горизонтальна → вертикальная составляющая импульса системы равна нулю. Движение до столкновения. Для первого шарика (брошенного): \(v_{y1} = v_0 \sin \alpha- gt\)Для второго шарика (падающего):\(v_{y2} = -gt\) Условие горизонтальной скорости после удара. Вертикальная составляющая суммарного импульса после удара равна нулю: \(m v_{y1} + m v_{y2} = 0 \implies v_{y1} = -v_{y2}\) \(v_0 \sin \alpha- gt = gt\) Вычисление начальной скорости: \(v_0 = \frac{2gt}{\sin \alpha} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 1}{\sin 30^\circ} = \frac{20}{0.5} = 40 \, \text{м/с}\) Ответ: \(v_0 = 40 \, \text{м/с}.\)

На рисунке представлен график движения автобуса из пункта \(A\) в пункт \(B\) и обратно. Пункт \(A\) находится в точке \(x = 0,\) а пункт \(B\) — в точке \(x = 30\space км.\) Чему равна максимальная скорость автобуса на всем пути следования туда и обратно? (Ответ дайте в километрах в час).

\(1.\) Определяем участок с максимальной скоростью: Наиболее крутой наклон графика соответствует движению из \(A\) в \(B\) Время движения туда: \(0.5\space ч\) \(2.\) Вычисляем скорость: \(v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{30\,\text{км}-0\,\text{км}}{0.5\,\text{ч}} = 60\space км/ч\)

Две силы \(3\space Н\) и \(4\space Н\) приложены к одной точке тела, угол между векторами сил равен \(90^\circ\). Чему равен модуль равнодействующей сил? Ответ дайте в ньютонах.

Правило сложения перпендикулярных сил. Модуль равнодействующей двух перпендикулярных сил вычисляется по теореме Пифагора: \(F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\) \(1.\) Применяем теорему Пифагора для данных сил: \(F = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\) \(2.\) Вычисляем модуль равнодействующей: \(F = 5\,\text{Н}\)

Тело массой \(600\,\text{г}\), брошенное вертикально вверх с поверхности Земли, достигло максимальной высоты \(8\,\text{м}\). Какой кинетической энергией обладало тело в момент броска? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Ответ дайте в джоулях.

Перевод единиц массы: \(m = 600\,\text{г} = 0.6\,\text{кг}\) 2. Применение закона сохранения энергии: — В момент броска (у поверхности Земли) тело обладает только кинетической энергией: \(E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}\)- В верхней точке траектории (на высоте \(h = 8\,\text{м}\)) скорость тела равна нулю, и вся кинетическая энергия перешла в потенциальную: \(E_{\text{пот}} = mgh\) 3. Расчет кинетической энергии: По закону сохранения энергии: \(E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}} = mgh\)Подставляем значения: \(E_{\text{кин}} = 0.6\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 8\,\text{м} = 48\,\text{Дж}\)

Груз массой \(m ,\) подвешенный на пружине жесткостью \(k_1 = 400\,\text{Н/м} ,\) совершает свободные гармонические колебания. Какой должна быть жесткость \(k_2\) новой пружины, чтобы частота колебаний этого же груза уменьшилась в \(2\) раза? Ответ дайте в ньютонах на метр.

Формула частоты колебаний: \(\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) 2. Зависимость частоты от жесткости: Частота пропорциональна квадратному корню из жесткости: \(\frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}\) 3. Условие изменения частоты: По условию \(\nu_2 = \frac{\nu_1}{2} ,\) следовательно: \(2 = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}} \Rightarrow 4 = \frac{k_1}{k_2}\) 4. Расчет новой жесткости: \(k_2 = \frac{k_1}{4} = \frac{400\,\text{Н/м}}{4} = 100\,\text{Н/м}\)