Мяч брошен под углом \(\alpha = 60^\circ\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0 = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\) Определите угол \(\beta\) между направлением скорости мяча и горизонтом через время \(t = 0.366\,\text{с}\) после броска. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\)

Разложение начальной скорости. Горизонтальная составляющая: \(v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 10 \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot 0.5 = 5\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Вертикальная составляющая: \(v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Скорости через время \(t\): Горизонтальная скорость остается постоянной: \(v_x = v_{0x} = 5\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Вертикальная скорость изменяется под действием \(g\): \(v_y = v_{0y}- gt = 8.66- 10 \cdot 0.366 \approx 8.66- 3.66 = 5\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Тангенс угла наклона скорости к горизонту: \(\tan \beta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{5}{5} = 1 \implies \beta = \arctan(1) = 45^\circ\) Ответ: через \(0.366\,\text{с}\) скорость мяча будет направлена под углом \(\beta = 45^\circ\) к горизонту.

Имеется два сосуда, заполненных идеальными газами: в первом сосуде находится кислород при температуре \(47^\circ\text{C},\) во втором — азот при температуре \(164.5^\circ\text{C}.\) Определите, на какую величину среднеквадратичная скорость хаотического движения молекул азота больше среднеквадратичной скорости хаотического движения молекул кислорода. Ответ выразите в метрах в секунду и округлите до целого числа.

\(1.\) Переводим температуры в Кельвины: \(T_{\text{O}_2} = 47 + 273 = 320\,\text{K}\) \(T_{\text{N}_2} = 164.5 + 273 = 437.5\,\text{K}\) \(2.\) Молярные массы: \(M_{\text{O}_2} = 32\,\text{г/моль} = 0.032\,\text{кг/моль}\) \(M_{\text{N}_2} = 28\,\text{г/моль} = 0.028\,\text{кг/моль}\) \(3.\) Формула среднеквадратичной скорости: \(v_{\text{скв}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}\) \(4.\) Разность скоростей: \(\Delta v = \sqrt{\frac{3R T_{\text{N}_2}}{M_{\text{N}_2}}}-\sqrt{\frac{3R T_{\text{O}_2}}{M_{\text{O}_2}}}\) \(5.\) Выносим общий множитель: \(\Delta v = \sqrt{3R} \left( \sqrt{\frac{T_{\text{N}_2}}{M_{\text{N}_2}}}-\sqrt{\frac{T_{\text{O}_2}}{M_{\text{O}_2}}} \right)\) \(6.\) Подставляем значения: \(\Delta v = \sqrt{3 \cdot 8.31} \cdot \left( \sqrt{\frac{437.5}{0.028}}-\sqrt{\frac{320}{0.032}} \right)\) \(7.\) Вычисляем: \(\sqrt{\frac{437.5}{0.028}} \approx \sqrt{15\space625} = 125\) \(\sqrt{\frac{320}{0.032}} \approx \sqrt{10\space000} = 100\) \(\sqrt{24.93} \approx 4.993\) \(\Delta v \approx 4.993 \cdot (125 -100) = 4.993 \cdot 25 \approx 124.8\,\text{м/с}\) \(8.\) Округляем до целого: \(\Delta v \approx 125\,\text{м/с}\) Ответ: скорость молекул азота больше на \(125\,\text{м/с}.\)

В горизонтально расположенной пробирке находится воздух, заблокированный столбиком ртути длиной \(L = 21\,\text{см}.\) Длина столбика воздуха в горизонтальном положении составляет \(l_1 = 24\,\text{см}.\) Пробирку переворачивают в вертикальное положение так, что отпаянный конец оказывается сверху. Определите длину столбика воздуха \(l_2\) в вертикальном положении, если:

Горизонтальное положение. Давление воздуха в пробирке равно атмосферному: \(p_1 = p_0 = 739\,\text{мм рт. ст.}\)Объем воздуха: \(V_1 = S \cdot l_1\)где \(S\) — площадь сечения пробирки. Вертикальное положение. Давление складывается из атмосферного и давления столбика ртути: \(p_2 = p_0 + \rho g h\) где \(\rho\) — плотность ртути, \(h = 21\,\text{см}\) — высота столбика. Переведем давление ртутного столбика в мм рт. ст.: \(p_{рт} = 210\,\text{мм рт. ст.}\) (так как \(1\,\text{см рт. ст.} = 10\,\text{мм рт. ст.}\)) Таким образом: \(p_2 = 739 + 210 = 949\,\text{мм рт. ст.}\)Объем воздуха: \(V_2 = S \cdot l_2\) Поскольку процесс изотермический \((T = const)\): \(p_1 V_1 = p_2 V_2\) Подставляем выражения для объемов: \(p_1 \cdot S \cdot l_1 = p_2 \cdot S \cdot l_2\) Сокращаем площадь \(S\): \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) Вычисление \(l_2\): \(l_2 = \frac{p_1 l_1}{p_2} = \frac{739 \cdot 24}{949} \approx 18.7\,\text{см}\)Округляем до целых: \(l_2 \approx 19\,\text{см}\) Ответ: длина столбика воздуха в вертикальном положении составит \(19\,\text{см}.\)

В цепи, изображенной на рисунке, сопротивления резисторов равны между собой: \(R_1 = R_2 = R_3 = R.\) При разомкнутом ключе \(K\) через резистор \(R_3\) течет ток \(I_0 = 1.4 \space \text{А}\). Загорится ли лампа после замыкания ключа, если она загорается при силе тока \(I_{\text{заж}} = 0.5 \space \text{А}?\) Сопротивление лампы в этом режиме \(R_{\text{л}} = 3R.\) Внутренним сопротивлением источника пренебречь, диод считать идеальным.

\(1.\) При разомкнутом ключе ток течет только через резисторы \(R_1\) и \(R_3,\) так как диод включен в обратном направлении. Общее сопротивление: \(R_{\text{общ}} = R_1 + R_3 = 2R\) По закону Ома: \(I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{2R} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{E} = 2 I_0 R\) \(2.\) При замыкании ключа лампа подключается параллельно резистору \(R_3\). Сопротивление параллельного участка: \(R_{\text{пар}} = \dfrac{R_3 \cdot R_{\text{л}}}{R_3 + R_{\text{л}}} = \dfrac{R \cdot 3R}{R + 3R} = \dfrac{3}{4}R\) \(3.\) Общее сопротивление цепи после замыкания ключа: \(R_{\text{общ}}’ = R_1 + R_{\text{пар}} = R + \dfrac{3}{4}R = \dfrac{7}{4}R\) \(4.\) Сила тока в цепи: \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_{\text{общ}}’} = \dfrac{2 I_0 R}{\dfrac{7}{4}R} = \dfrac{8}{7} I_0\) \(5.\) Напряжение на параллельном участке: \(U_{\text{пар}} = I \cdot R_{\text{пар}} = \dfrac{8}{7} I_0 \cdot \dfrac{3}{4}R = \dfrac{6}{7} I_0 R\) \(6.\) Сила тока через лампу: \(I_{\text{л}} = \dfrac{U_{\text{пар}}}{R_{\text{л}}} = \dfrac{\dfrac{6}{7} I_0 R}{3R} = \dfrac{2}{7} I_0\) \(7.\) Подставляем числовое значение: \(I_{\text{л}} = \dfrac{2}{7} \cdot 1.4 = 0.4 \space \text{А}\) \(8.\) Сравниваем с током зажигания: \(0.4 \space \text{А} < 0.5 \space \text{А},\) значит лампа не загорится. Ответ: сила тока через лампу равна \(0.4 \space \text{А},\) лампа не загорится.

Шар массой \(M = 1 \, \text{кг} ,\) подвешенный на нити длиной \(l = 90 \, \text{см} ,\) отводят от положения равновесия на угол \(\alpha = 60^\circ\) и отпускают. В момент прохождения положения равновесия в шар попадает пуля массой \(m = 10 \, \text{г} ,\) летящая навстречу. Пуля пробивает шар и продолжает движение горизонтально. Определите изменение скорости пули \(\Delta v ,\) если шар после взаимодействия отклоняется на угол \(\beta = 39^\circ .\) (Принять \(\cos 39^\circ = \frac{7}{9} ,\) диаметр шара считать малым по сравнению с длиной нити). Обоснуйте используемые физические законы.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Шар и пулю рассматриваем как материальные точки. Время взаимодействия считаем малым → сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы. Механическая энергия сохраняется (работа силы натяжения нити равна нулю). Нулевой уровень потенциальной энергии — положение равновесия шара. Скорость шара перед ударом. Потенциальная энергия в начальном положении: \(E_p = Mgl(1- \cos \alpha)\)Кинетическая энергия в нижней точке: \(E_k = \frac{Mv_0^2}{2}\)По закону сохранения энергии: \(Mgl(1- \cos \alpha) = \frac{Mv_0^2}{2} \implies v_0 = \sqrt{2gl(1- \cos \alpha)}\) Подставляем \(\alpha = 60^\circ ,\) \(\cos 60^\circ = 0.5\):\(v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.9 \cdot (1- 0.5)} = \sqrt{9} = 3 \, \text{м/с}\) Скорость шара после удара. По закону сохранения энергии для нового угла \(\beta = 39^\circ\): \(\frac{Mu^2}{2} = Mgl(1- \cos \beta) \implies u = \sqrt{2gl(1- \cos \beta)}\)При \(\cos \beta = \frac{7}{9}\): \(u = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.9 \cdot \left(1- \frac{7}{9}\right)} = \sqrt{4} = 2 \, \text{м/с}\) Закон сохранения импульса: \(Mv_0- mv_1 = Mu + mv_2\)где \(v_1\) — начальная скорость пули, \(v_2\) — конечная скорость пули. Изменение скорости пули. Выразим \(\Delta v = v_2- v_1\):\(\Delta v = \frac{M(v_0- u)}{m}\)Подставляем значения:\(\Delta v = \frac{1 \cdot (3- 2)}{0.01} = 100 \, \text{м/с}\)Знак «−» в ответе означает уменьшение скорости:\(\Delta v = -100 \, \text{м/с}\) Ответ: \(\Delta v = -100 \, \text{м/с} \, \text{(уменьшилась на 100 м/с)}.\)