Один литр жидкого аргона находится при температуре своего кипения \(-186^\circ\text{C}.\) Какое количество теплоты нужно сообщить этому количеству аргона для того, чтобы при постоянном давлении перевести его в газ, имеющий температуру \(0^\circ\text{C}?\) Плотность жидкого аргона \(1\space400\,\text{кг/м}^3,\) его удельная теплота испарения \(87\,\text{кДж/кг}.\) Ответ выразите в килоджоулях и округлите до целого числа.

\(1.\) Находим массу аргона: \(m = \rho V = 1\space400 \cdot 0.001 = 1.4\,\text{кг}\) \(2.\) Теплота на испарение: \(Q_1 = L m = 87 \cdot 1.4 = 121.8\,\text{кДж}\) \(3.\) Число моль аргона: \(\nu = \frac{m}{M} = \frac{1.4}{0.040} = 35\,\text{моль}\) \(4.\) Изменение температуры газа: \(\Delta T = 0 -(-186) = 186\,\text{K}\) \(5.\) Теплота на нагревание газа при постоянном давлении: \(Q_2 = \frac{5}{2} \nu R \Delta T = \frac{5}{2} \cdot 35 \cdot 8.31 \cdot 186\) \(6.\) Вычисляем: \(Q_2 = 2.5 \cdot 35 \cdot 8.31 \cdot 186 \approx 135\space200\,\text{Дж} = 135.2\,\text{кДж}\) \(7.\) Суммарная теплота: \(Q = Q_1 + Q_2 = 121.8 + 135.2 = 257\,\text{кДж}\) Ответ: необходимо сообщить \(257\,\text{кДж}\) теплоты.

Воздух в воздушном шаре, оболочка которого имеет массу \(M = 400\,\text{кг}\) и объем \(V = 2\ 500\,\text{м}^3,\) нагревают горелкой через отверстие снизу. Окружающий воздух имеет температуру \(t_0 = 7\,^\circ\text{C}\) и плотность \(\rho_0 = 1.2\,\text{кг}/\text{м}^3.\) При какой минимальной разности температур шар сможет поднять груз массой \(m = 200\,\text{кг}?\) Оболочка шара нерастяжима.

Условие подъема шара. Для подъема шара с грузом сила Архимеда \(F_A\) должна компенсировать силу тяжести, действующую на оболочку, груз и воздух внутри шара: \(F_A \geq (M + m)g + m_B g\) где \(m_B = \rho V\) — масса воздуха внутри шара, \(\rho\) — его плотность. Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха: \(F_A = \rho_0 g V\) Подстановка в условие подъема: \(\rho_0 g V \geq (M + m)g + \rho g V\) Сокращаем \(g\): \(\rho_0 V \geq M + m + \rho V \quad (1)\) Используем уравнение состояния идеального газа: \(\rho = \frac{p \mu}{R T}\)где \(p\) — давление (одинаковое внутри и снаружи шара), \(\mu\) — молярная масса воздуха, \(R\) — универсальная газовая постоянная. Для окружающего воздуха: \(\rho_0 = \frac{p \mu}{R T_0}\)где \(T_0 = 280\,\text{K}.\) Отсюда выражаем плотность внутри шара: \(\rho = \rho_0 \frac{T_0}{T}\) где \(T\) — температура воздуха внутри шара. Подстановка в неравенство \((1)\): \(\rho_0 V \geq M + m + \rho_0 \frac{T_0}{T} V\) Переносим слагаемые: \(\rho_0 V- \rho_0 \frac{T_0}{T} V \geq M + m\)\(\rho_0 V \left(1- \frac{T_0}{T}\right) \geq M + m\) Решаем относительно \(T\): \(1- \frac{T_0}{T} \geq \frac{M + m}{\rho_0 V}\) \(\frac{T_0}{T} \leq 1- \frac{M + m}{\rho_0 V}\) \(T \geq \frac{T_0}{1- \frac{M + m}{\rho_0 V}}\) Подставляем числовые значения: \(T \geq \frac{280}{1- \frac{400 + 200}{1.2 \cdot 2500}} = \frac{280}{1- \frac{600}{3000}} = \frac{280}{1- 0.2} = \frac{280}{0.8} = 350\,\text{K}\) Минимальная разность температур между воздухом внутри шара и окружающим воздухом: \(\Delta T = T- T_0 = 350- 280 = 70\,\text{K}\) Ответ: минимальная разность температур составляет \(70\,\text{K}.\)

Два плоских конденсатора емкостью \(C\) и \(2C\) соединили параллельно и зарядили до напряжения \(U.\) Затем ключ \(K\) разомкнули, отключив конденсаторы от источника. Пространство между их обкладками заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon.\) Какой будет разность потенциалов между обкладками, если из левого конденсатора диэлектрик вытечет?

\(1.\) Исходный заряд системы конденсаторов: \(q = C_{\text{общ}} U = (C + 2C) U = 3CU\) \(2.\) После вытекания диэлектрика из левого конденсатора его емкость уменьшается: \(C_1′ = \dfrac{C}{\varepsilon}\) Емкость правого конденсатора остается неизменной: \(C_2′ = 2C\) \(3.\) Новая общая емкость: \(C_{\text{общ}}’ = C_1′ + C_2′ = \dfrac{C}{\varepsilon} + 2C = C \left( \dfrac{1}{\varepsilon} + 2 \right)\) \(4.\) Заряд сохраняется, поэтому новое напряжение: \(U’ = \dfrac{q}{C_{\text{общ}}’} = \dfrac{3CU}{C \left( \dfrac{1}{\varepsilon} + 2 \right)} = \dfrac{3U}{\dfrac{1}{\varepsilon} + 2} = \dfrac{3U}{\dfrac{1 + 2\varepsilon}{\varepsilon}} = \dfrac{3\varepsilon U}{1 + 2\varepsilon}\) Ответ: разность потенциалов между обкладками станет равной \(\dfrac{3\varepsilon U}{1 + 2\varepsilon}.\)

Шар массой \(M = 230 \, \text{г} ,\) подвешенный на нити длиной \(l = 50 \, \text{см} ,\) получает попадание горизонтально летящей пули, которая застревает в нем. Минимальная скорость пули \(v_0 ,\) необходимая для совершения шаром полного оборота в вертикальной плоскости, составляет \(120 \, \text{м/с} .\) Найдите массу пули \(m .\) Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых физических законов.

Обоснование. Систему отсчета связываем с Землей (инерциальная система). Тела считаем материальными точками. При ударе выполняется закон сохранения импульса (горизонтальные внешние силы отсутствуют). После удара работает закон сохранения механической энергии (сила натяжения нити не совершает работы). Минимальное условие: в верхней точке натяжение нити \(T = 0 .\) Закон сохранения импульса при ударе: \(mv_0 = (M + m)v_1 \quad (1)\) где \(v_1\) — скорость системы шар+пуля сразу после удара. Закон сохранения энергии (нижняя → верхняя точка): \(\frac{(M + m)v_1^2}{2} = \frac{(M + m)v_2^2}{2} + (M + m)g \cdot 2l \quad (2)\) где \(v_2\) — скорость в верхней точке. Условие минимальной скорости (в верхней точке): \((M + m)g = \frac{(M + m)v_2^2}{l} \implies v_2^2 = gl \quad (3)\) Подстановка \((3)\) в \((2)\):\(\frac{v_1^2}{2} = \frac{gl}{2} + 2gl \implies v_1^2 = 5gl \implies v_1 = \sqrt{5gl}\) Выражаем массу пули из \((1)\):\(m = \frac{M\sqrt{5gl}}{v_0- \sqrt{5gl}}\)Подставляем численные значения (\(g = 10 \, \text{м/с}^2 ,\) \(l = 0.5 \, \text{м} ,\) \(M = 0.23 \, \text{кг} ,\) \(v_0 = 120 \, \text{м/с}\)): \(\sqrt{5gl} = \sqrt{5 \cdot 10 \cdot 0.5} = 5 \, \text{м/с}\) \(m = \frac{0.23 \cdot 5}{120- 5} = \frac{1.15}{115} = 0.01 \, \text{кг} = 10 \, \text{г}\) Ответ: \(m = 10 \, \text{г}.\)

Автомобиль движется вдоль прямой дороги. На рисунке представлен график зависимости проекции \(a\) его ускорения от времени \(t.\) Известно, что при \(t = 0\) автомобиль покоился. Какой путь прошел автомобиль за промежуток времени от \(10\space с\) до \(15\space с?\) (Ответ выразите в метрах).

\(1.\) Находим скорость при \(t = 10\space с{:}\) \(v = v_0 + a_1 t_1 = 0 + 2 \cdot 10 = 20\space м/с\) \(2.\) Для интервала \(10-15\space с\) \((\) \(\Delta t = 5\space с){:}\) Ускорение \(a_2 = -2\space м/с ^2\) (из графика). Используем формулу пути: \(S = v t + \frac{a t^2}{2} = 20 \cdot 5 + \frac{(-2) \cdot 25}{2} = 100-25 = 75\space м\)