В гладком вертикальном цилиндре под подвижным поршнем массой \(M\) и площадью \(S\) находится идеальный одноатомный газ. Поршень в равновесии располагается на высоте \(h\) над дном цилиндра. После сообщения газу количества теплоты \(Q\) поршень приподнялся, а газ нагрелся. Найдите, на какой высоте \(H\) над дном цилиндра находится поршень. Давление в окружающей среде равно \(p_0.\)

Исходное состояние газа. Объем газа: \(V = Sh.\) Давление газа определяется равновесием поршня: \(p = p_0 + \frac{Mg}{S}\) Это давление остается постоянным в течение всего процесса, так как поршень подвижный, а внешнее давление \(p_0\) неизменно. Уравнение состояния газа. Используем уравнение Клапейрона — Менделеева: \(pV = \nu RT\)где \(\nu\) — количество вещества газа (в молях). Отсюда: \(\nu = \frac{pV}{RT} = \frac{(p_0S + Mg)h}{RT}\) Изменение состояния газа. После подвода теплоты \(Q\) температура газа увеличивается на \(\Delta T,\) а объем изменяется на: \(\Delta V = S(H- h)\) где \(H\) — новая высота поршня. Согласно первому началу термодинамики: \(Q = \Delta U + A\) где: \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа. \(A\) — работа газа. Вычисление \(\Delta U\) и \(A.\) Для одноатомного идеального газа: \(\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T\) Работа газа в изобарическом процессе: \(A = p \Delta V\) Связь между \(\Delta V\) и \(\Delta T.\) В изобарическом процессе: \(p \Delta V = \nu R \Delta T\)Подставляем это в выражение для \(Q\): \(Q = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + p \Delta V = \frac{3}{2} p \Delta V + p \Delta V = \frac{5}{2} p \Delta V\) Нахождение \(H\). Выражаем \(\Delta V\) через \(H\): \(Q = \frac{5}{2} p S (H- h)\) Решаем относительно \(H\): \(H- h = \frac{2Q}{5 p S}\)\(H = h + \frac{2Q}{5 p S}\) Подставляем выражение для \(p\): \(H = h + \frac{2Q}{5 \left( p_0 + \frac{Mg}{S} \right) S} = h + \frac{2Q}{5 (p_0 S + Mg)}\) Ответ: высота поршня после подвода теплоты равна: \(H = h + \frac{2Q}{5(p_0 S + Mg)}\)

В схеме, показанной на рисунке, ключ \(K\) долгое время находился в положении \(1.\) В момент \(t_0 = 0\) ключ перевели в положение \(2.\) К моменту \(t > 0\) на резисторе \(R\) выделилось количество теплоты \(Q = 25 \space \text{мкДж} = 2.5 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж}.\) Сила тока в цепи в этот момент равна \(I = 0.1 \space \text{мА} = 10^{-4} \space \text{А}.\) Чему равно сопротивление резистора \(R\)? \(ЭДС\) батареи \(\mathcal{E} = 15 \space \text{В}\), ее внутреннее сопротивление \(r = 30 \space \text{Ом},\) емкость конденсатора \(C = 0.4 \space \text{мкФ} = 4 \cdot 10^{-7} \space \text{Ф}.\) Потерями на электромагнитное излучение пренебречь.

\(1.\) При нахождении ключа в положении \(1\) конденсатор заряжается до напряжения \(\mathcal{E}\). Энергия заряженного конденсатора: \(W_0 = \dfrac{C \mathcal{E}^2}{2}\) \(2.\) После переключения ключа в положение \(2\) конденсатор разряжается через резистор \(R.\) К моменту времени \(t\) на резисторе выделилось тепло \(Q,\) а на конденсаторе осталась энергия \(W = \dfrac{C U^2}{2},\) где \(U\) — напряжение на конденсаторе в момент \(t.\) \(3.\) По закону сохранения энергии: \(W_0 = W + Q\) \(\dfrac{C \mathcal{E}^2}{2} = \dfrac{C U^2}{2} + Q\) \(4.\) Выражаем напряжение на конденсаторе: \(U = \sqrt{\mathcal{E}^2 -\dfrac{2Q}{C}}\) \(5.\) Сила тока в цепи в момент \(t\): \(I = \dfrac{U}{R}\) откуда \(R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{1}{I} \sqrt{\mathcal{E}^2 -\dfrac{2Q}{C}}\) \(6.\) Подставляем числовые значения: \(I = 10^{-4} \space \text{А},\) \(\mathcal{E} = 15 \space \text{В},\) \(Q = 2.5 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},\) \(C = 4 \cdot 10^{-7} \space \text{Ф}{:}\) \(R = \dfrac{1}{10^{-4}} \sqrt{225 -\dfrac{5 \cdot 10^{-5}}{4 \cdot 10^{-7}}} = 10^4 \sqrt{225 -125} = 10^4 \sqrt{100} = 10^4 \cdot 10 = 10^5 \space \text{Ом}\) Ответ: сопротивление резистора \(R\) равно \(100 \space \text{кОм}.\)

Шар массой \(M = 250 \, \text{г}\) подвешен на нити длиной \(l = 50 \, \text{см} .\) В него попадает и застревает горизонтально летящая пуля массой \(m = 10 \, \text{г} .\) Найдите минимальную скорость пули \(v ,\) при которой шар совершит полный оборот в вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость физических законов.

Обоснование. Система отсчета связана с Землей (инерциальная). Тела считаем материальными точками. При ударе выполняется закон сохранения импульса (горизонтальные внешние силы отсутствуют). После удара работает закон сохранения механической энергии (сила натяжения нити не совершает работы). Минимальное условие: в верхней точке натяжение нити \(T = 0 .\) Закон сохранения импульса при ударе: \(mv = (M + m)u \quad (1)\) где \(u\) — скорость системы после удара. Закон сохранения энергии (нижняя → верхняя точка):\(\frac{(M + m)u^2}{2} = \frac{(M + m)V^2}{2} + (M + m)g \cdot 2l \quad (2)\)где \(V\) — скорость в верхней точке. Условие минимальной скорости (в верхней точке): \((M + m)g = \frac{(M + m)V^2}{l} \implies V^2 = gl \quad (3)\) Подставляем \((3)\) в \((2)\):\(\frac{u^2}{2} = \frac{gl}{2} + 2gl \implies u^2 = 5gl\) Из уравнения \((1)\) находим \(v\): \(v = \frac{M + m}{m} \sqrt{5gl} = \frac{0.26}{0.01} \sqrt{5 \cdot 10 \cdot 0.5} = 26 \cdot 5 = 130 \, \text{м/с}\) Ответ: \(v = 130 \, \text{м/с}.\) ободного падения \(g = 10 \, \text{м/с}^2 .\)

На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела \(v_x\) от времени. Определите проекцию ускорения этого тела \(a_x\) в интервале времени от \(15\) до \(20\space с.\) (Ответ выразите в метрах на секунду в квадрате).

\(1.\) Используем формулу для проекции ускорения:\(a_x = \dfrac{\Delta v_x}{\Delta t}\) \(2.\) Из графика определяем: Начальная скорость при \(t = 15\space с:\) \(v_1 = 10\space м/с\) Конечная скорость при \(t = 20\space с:\) \(v_2 = -10\space м/с\) Временной интервал: \(\Delta t = 20-15 = 5\space с\) \(3.\) Вычисляем изменение скорости: \(\Delta v_x = v_2-v_1 = -10-10 = -20\space м/с\) \(4.\) Находим ускорение: \(a_x = \dfrac{-20}{5} = -4\space м/с^2\)

В инерциальной системе отсчета сила \(F\) сообщает телу массой \(m\) ускорение \(3\space м/с^2.\) Чему равно ускорение, сообщаемое силой \(\dfrac{F}{2}\) телу массой \(3m\)? Ответ запишите в метрах в секунду в квадрате.

Второй закон Ньютона. Ускорение тела прямо пропорционально действующей силе и обратно пропорционально его массе:\(a = \frac{F}{m}\) \(1.\) Для первого тела находим отношение силы к массе:\(\frac{F}{m} = a_1 = 3\,\text{м/с}^2\) \(2.\) Для второго тела \((\)сила \(\dfrac{F}{2},\) масса \(3m){:}\) \(a_2 = \frac{\frac{F}{2}}{3m} = \frac{F}{6m}\) \(3.\) Подставляем известное отношение \(\dfrac{F}{m}\):\(a_2 = \dfrac{3}{6} = 0.5\,\text{м/с}^2\)