В цепи, изображенной на рисунке, \(ЭДС\) батареи равна \(\mathcal{E} = 100 \space \text{В},\) сопротивления резисторов \(R_1 = 10 \space \text{Ом}\) и \(R_2 = 6 \space \text{Ом},\) а емкости конденсаторов \(C_1 = 100 \space \text{мкФ} = 10^{-4} \space \text{Ф}\) и \(C_2 = 60 \space \text{мкФ} = 6 \cdot 10^{-5} \space \text{Ф}.\) В начальном состоянии ключ \(K\) разомкнут, а конденсаторы не заряжены. Через некоторое время после замыкания ключа в системе установится равновесие. Какую работу совершат сторонние силы к моменту установления равновесия?

\(1.\) После установления равновесия ток через резисторы прекратится. Конденсатор \(C_1\) будет заряжен до напряжения \(\mathcal{E}\), так как он подключен непосредственно к источнику. Конденсатор \(C_2\) окажется разряженным, поскольку его обкладки соединены через резисторы с одинаковым потенциалом. \(2.\) Заряд, прошедший через источник тока: \(q = C_1 \mathcal{E}\) \(3.\) Работа сторонних сил источника тока: \(A = q \mathcal{E} = C_1 \mathcal{E}^2\) \(4.\) Подставляем числовые значения: \(C_1 = 10^{-4} \space \text{Ф},\) \(\mathcal{E} = 100 \space \text{В}{:}\) \(A = 10^{-4} \cdot (100)^2 = 10^{-4} \cdot 10^4 = 1 \space \text{Дж}\) Ответ: работа сторонних сил равна \(1 \space \text{Дж}.\)

На горизонтальной поверхности закреплена абсолютно гладкая полусфера. С ее верхней точки соскальзывает из состояния покоя маленькое тело. В некоторой точке тело отрывается от полусферы и начинает свободное движение. Найдите радиус полусферы \(R ,\) если в момент отрыва скорость тела составила \(v = 4 \, \text{м/с} .\) Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых физических законов.

Обоснование. Систему отсчета связываем с Землей (инерциальная система). Тело считаем материальной точкой (размеры малы по сравнению с радиусом полусферы). Полусфера гладкая ⇒ сила трения отсутствует, работа силы реакции опоры \(\vec{N}\) равна нулю. Механическая энергия сохраняется. В момент отрыва \(N = 0 .\) Закон сохранения энергии. В начальной точке (вершина полусферы): \(E_1 = mgR\) В точке отрыва: \(E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh\) По закону сохранения энергии:\(mgR = \frac{mv^2}{2} + mgh \quad (1)\) Условие отрыва. В момент отрыва равнодействующая сил дает центростремительное ускорение: \(mg \cos \alpha = m \frac{v^2}{R} \quad (2)\)Из геометрии:\(\cos \alpha = \frac{h}{R} \quad (3)\) Решение системы уравнений. Подставляем \((3)\) в \((2)\):\(g \frac{h}{R} = \frac{v^2}{R} \implies h = \frac{v^2}{g}\)Подставляем \(h\) в \((1)\): \(gR = \frac{v^2}{2} + g \cdot \frac{v^2}{g} \implies gR = \frac{v^2}{2} + v^2\) \(gR = \frac{3v^2}{2} \implies R = \frac{3v^2}{2g}\) Численный расчет. Подставляем \(v = 4 \, \text{м/с}\) и \(g = 10 \, \text{м/с}^2\):\(R = \frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 10} = \frac{48}{20} = 2.4 \, \text{м}\) Ответ: \(R = 2.4 \, \text{м}.\)

Точечное тело движется вдоль горизонтальной оси \(Ox.\) На рисунке представлен график зависимости проекции скорости \(v_x\) этого тела от времени \(t.\) Определите путь, пройденный телом за интервал времени от \(0\space с\) до \(4\space с.\) (Ответ выразите в метрах).

\(1.\) Разбиваем движение на два участка: \(0-2\space с{:}\) скорость изменяется от \(2\space м/с\) до \(3\space м/с.\) \(2-4\space с{:}\) постоянная скорость \(3\space м/с.\) \(2.\) Вычисляем путь для каждого участка. \(2.1.\) Участок \(0-2\space с\) (трапеция):\(S_1 = \dfrac{2 + 3}{2} \cdot 2 = 5\space м\) \(2.2.\) Участок \(2-4\space с\) (прямоугольник):\(S_2 = 3 \cdot 2 = 6\space м\) \(3.\) Суммарный путь:\(S = S_1 + S_2 = 5 + 6 = 11\space м\)

Точечное тело массой \(4\space кг\) движется прямолинейно вдоль оси \(Ox.\) Проекция его скорости за \(2\space с\) равномерно растет от \(-1\space м/с\) до \(1\space м/с.\) Найти модуль проекции силы \(F_x,\) действующей на тело. Ответ запишите в ньютонах.

Второй закон Ньютона. Проекция силы равна произведению массы тела на проекцию ускорения: \(F_x = ma_x\) Равноускоренное движение. Проекция ускорения вычисляется по формуле: \(a_x = \frac{v_x-v_{0x}}{t}\) \(1.\) Вычисляем проекцию ускорения: \(a_x = \frac{1-(-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\text{м/с}^2\) \(2.\) Находим модуль проекции силы: \(F_x = m \cdot a_x = 4 \cdot 1 = 4\,\text{Н}\)

Шайба массой \(40\,\text{г}\) поднимается по гладкой наклонной плоскости на максимальную высоту \(0.2\,\text{м}\) относительно начального положения. Определите кинетическую энергию шайбы в начальном положении. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Ответ дайте в джоулях.

Перевод единиц массы: Массу переводим в килограммы: \(m = 40\,\text{г} = 0.04\,\text{кг}.\) 2. Применение закона сохранения энергии: — В начальном положении шайба обладает только кинетической энергией: \(E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}.\) — В конечном положении (на высоте \(h = 0.2\,\text{м}\)) скорость шайбы равна нулю, и вся кинетическая энергия переходит в потенциальную: \(E_{\text{пот}} = mgh.\) 3. Вычисление кинетической энергии: По закону сохранения энергии: \(E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}} = mgh.\) Подставляем значения: \(E_{\text{кин}} = 0.04\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 0.2\,\text{м} = 0,08\,\text{Дж}.\)