Воздушный шар с газонепроницаемой оболочкой массой \(200\) кг заполняют \(40\) кг гелия. Шар равномерно поднимается с ящиком некоторой массы. Температура окружающего воздуха постоянна и равна \(27~^\circ С\), давление соответствует атмосферному. Чему равна масса ящика? Объем ящика пренебрежимо мал по сравнению с размерами шара, оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объема шара.

Т.к. шар не оказывает сопротивления, то давление снаружи и внутри одинаковое. Плотность газа: \(\rho=\frac{PM}{RT}\) Уравнение Клапейрона-Менделеева для гелия: \(pV=\frac{m_1}{M_{He}}RT\Rightarrow V=\frac{m_1RT}{P_0M_{He}}\) Сила Архимеда: \(F_A=\rho gV=\frac{p_0M_в}{RT}g\cdot\frac{m_1RT}{P_0M_{He}}=\frac{m_1gM_в}{M_{He}}\) Условие равновесия шара в проекции на \(oy\): \(F_A-m_1g-m_2g-m_0g=0\) \(\frac{m_1gM_в}{M_{He}}-m_1g-m_2g-m_0g=0\) \(m_2=m_1\left (\frac{M_в}{M_{He}}-1\right )-m_0=40\left (\frac{0,029}{0,004}-1\right )-200=50~кг\) Ответ: 50 кг https://youtu.be/0_s32xn-kzg

В закрытом сосуде находится влажный воздух массой \(m=40\) г при температуре \(t=90~^\circ С\) и давлении \(p=2\cdot 10^5\) Па. Масса паров воды в сосуде \(m_п=5\) г. Определите объем сосуда.

По закону Дальтона: \(p=p_с+p_в~(1),\) где \(p_с\) – парциальное давление сухой составляющей воздуха, \(p_в\) – парциальное давление водяного пара, \(m_с=m-m_п\), где \(m_с\) – масса сухого воздуха. Распишем уравнение Менделеева-Клапейрона для сухого воздуха: \(p_сV=\frac{m-m_п}{M_{возд}}RT\Rightarrow p_с=\frac{m-m_п}{M_{возд}}\frac{RT}{V}\) Распишем уравнение Менделеева-Клапейрона для паров воды: \(p_вV=\frac{m_п}{M_{возд}}RT\Rightarrow p_в=\frac{m_п}{M_{возд}}\frac{RT}{V}\) Подставим полученные давления в формулу для (1): \(p=\frac{m_пRT}{M_{возд}V}+\frac{m-m_п}{M_{возд}}\frac{RT}{V}\Rightarrow V=\frac{RT}{p}\left (\frac{m_п}{M_{возд}}+\frac{m-m_п}{M_{возд}}\right )=\) \(=\frac{8,31\cdot 363}{2\cdot 10^5}\left (\frac{5\cdot 10^{-3}}{0,018}+\frac{0,04-0,005}{0,029}\right )=0,0224~м^3\) Ответ: \(0,0244~м^3\) https://youtu.be/puL77KZfepE?t=6083

Над одноатомным идеальным газом в количестве \(3\) моль проводится циклический процесс, показанный на рисунке. Количество теплоты, полученное газом от нагревателя в данном цикле, составляет \(Q_н=50\) кДж. Определите температуру газа в состоянии \(3\).

Рассмотрим процесс \(1\)-\(2\): \(V-const\Rightarrow A=0;~\Delta U_{12}=U_2-U_1=\frac{3}{2}\cdot 2p_0\cdot V_0-\frac{3}{2}p_0V_0=\frac{3}{2}p_0V_0\) \(U=\frac{3}{2}pV;~Q_{12}=A_г+\Delta U_{12}=\frac{3}{2}p_0V_0\) Рассмотрим процесс \(2\)-\(3\). \(A_{23}\) – площадь под графиком \(p(V)\): \(A_{23}=\frac{2p_0+3p_0}{2}\left (4V_0-V_0\right );~A_{23}=\frac{15p_0V_0}{2}\) \(\Delta U_{23}=U_3-U_2=\frac{3}{2}\cdot 3p_0\cdot 4V_0-\frac{3}{2}\cdot 2p_0V_0=15p_0V_0;\) \(Q_{23}=A_{23}+\Delta U_{23}=\frac{15p_0V_0}{2}+15p_0V_0=\frac{45p_0V_0}{2}\) Рассмотрим процесс \(3\)-\(1\): \(V\) – убывает \(\Rightarrow A_{31}<0\); так как \(p\) и \(V\) убывают, то \(T\) тоже бывает \(\Rightarrow\Delta U_{31}<0\) \(Q_{31}=\Delta U_{31}+A_{31}<0\\ Q_н=Q_{12}+Q_{23};~Q_н=\frac{3}{2}p_0V_0+\frac{45p_0V_0}{2};~Q_н=24p_0V_0\Rightarrow p_0V_0=\frac{Q_н}{24}\) для состояния \(3\): \(3p_0\cdot 4V_0=\nu RT_3\Rightarrow T_3=\frac{12p_0V_0}{\nu R}=\frac{12\cdot Q_н}{24\nu R}=\frac{Q_н}{2\nu R}=\frac{50000}{2\cdot 8,31\cdot 3}\approx 1003~К\) Ответ: 1003 К https://youtu.be/GXsBAQx8Ix8?t=6137

На рисунке ниже представлена установка, состоящая из вертикального цилиндра, невесомого поршня, удерживаемого сверху упорами, и гелия, который находится внутри цилиндра. Объем гелия \(V_0\), давление \(3p_0\), где \(p_0\) – атмосферное давление. Найдите количество теплоты, которое необходимо отнять у гелия, чтобы его объем стал \(0,5V_0\). Трением между стенками цилиндра и поршнем пренебречь.

1 закон термодинамики для участка 1-2: \(Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}, A_{12}=0\) Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона: \(\downarrow pV=\nu RT\downarrow\\ Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(p_0V_0-3p_0V_0)=-3p_0V_0\\ Q_{12}=-3p_0V_0\) 1 закон термодинамики для участка 2-3: \(Q_{23}=A_{23}+\Delta U_{23}=-0,5p_0V_0-\frac{3}{4}p_0V_0=-1,25p_0V_0\) Отданное количество теплоты равно: \(Q_{отд}=|Q_{12}|+|Q_{23}|=|-3p_0V_0|+|-1,25p_0V_0|=4,25p_0V_0\) Ответ: \(4,25p_0V_0\) https://youtu.be/CVRi5cMG5-E

Одноатомный идеальный газ находится в сосуде объемом \(V=0,04~м^3\), стенки которого жесткие. Давление газа равно атмосферному. У сосуда в крышке проделано отверстие, которое заткнуто пробкой, площадь отверстия – \(S\). Максимальная сила трения покоя \(F\) пробки о края отверстия равна 150 Н. Если передать газу количество теплоты не менее 20 кДж, то пробка выскочит. Найдите площадь отверстия \(S\). Массой пробки и работой газа при вылете пробки пренебречь.

Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для первого и для второго состояний: \(p_0V=\nu RT_1\\ p_2V=\nu RT_2\) \(V=const\), пока крышка не сдвинется, следовательно, \(A=0\) Согласно первому закону термодинамики: \(Q=\Delta U+A\\ \Delta U=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}(p_2V-p_0V)\\ Q=\Delta U=\frac{3}{2}(p_2V-p_0V)\) Запишем второй закон Ньютона для пробки: \(F_г-F_{атм}-F_{тр}=0\) где \(F_г=p_2S,F_{атм}=p_0S\) Следовательно: \(p_2S-p_0S-F_{тр}=0\Rightarrow p_2S=p_0S+F_{тр}\) Подставим в уравнение первого закона термодинамики: \(Q=\frac{3}{2}((p_0+\frac{F_{тр}}{S})V-p_0V)=\frac{3}{2}\frac{F_{тр}V}{S}\Rightarrow S=\frac{3}{2}\frac{F_{тр}V}{Q}\) Подставим значения: \(S=\frac{3}{2}\frac{150\cdot 0,04}{20\cdot 10^3}=4,5~см^2\) Ответ: \(4,5~см^2\) https://youtu.be/1IyTD81eFUQ