Идеальный одноатомный газ находится в неподвижном сосуде с гладкими стенками под поршнем площадью \(S=20\) м\(^2\) и массой \(5\) кг. Сосуд начинает движение вертикально вверх с ускорением \(a=0,8\) м/с\(^2\). Объем газа в сосуде к моменту, когда поршень становится неподвижен относительно сосуда, уменьшается на \(2\%\). Чему равно внешнее давление?

\(F_{атм}\) – сила действия атмосферы на поршень, \(F_{г1}\), \(F_{г2}\) – начальная и конечная сила действия газа на поршень соответственно. \(F_{г1}=p_1S;~F_{г2}=p_2S;~F_{атм}=p_oS\) По 2 закону Ньютона в начале в проекции на \(Oy\): \(F_{г1}-mg-F_{атм}=0\) \(p_1S-mg-p_0S=0\Rightarrow p_1=\frac{mg}{S}+p_0\) По 2 закону Ньютона в конце в проекции на \(Oy\): \(F_{г2}-mg-F_{атм}=ma\) \(p_2S-mg-p_0S=ma\Rightarrow p_2=\frac{m(g+a)}{S}+p_0\) Уравнение Клапейрона-Менделеева: \(pV=\nu RT;~\nu,~T-const\Rightarrow p_1V_1=p_2V_2\) \(\left (\frac{mg}{S}+p_0\right )V_1=\left (\frac{m(g+a)}{S}+p_0\right )V_2\) \(\left (\frac{mg}{S}+p_0\right )V_1=\left (\frac{m(g+a)}{S}+P_0\right )\cdot 0,98V_1\) \(\frac{mg}{S}+p_0=\frac{mg}{S}\cdot 0,98+\frac{ma}{S}\cdot 0,98+0,98P_0\) \(0,02p_0+\frac{mg}{S}\cdot 0,02=\frac{ma}{S}\cdot 0,98\) \(p_0+\frac{mg}{S}=\frac{ma}{S}\cdot 49\Rightarrow p_0=\frac{m}{S}(49a-g)=\frac{5}{20\cdot 10^{-4}}(49\cdot 0,8-10)=73000~Па=73~кПа\) Ответ: 73 кПа https://youtu.be/nXTTFfjFmtw

В закрытом баллоне с толстыми стенками под давлением \(4\) атм находится кислород при температуре \(300\) К. Газ нагревают, увеличивая его температуру в \(12\) раз, при этом давление в баллоне увеличивается до \(60\) атм и часть молекул распадается на атомы. Чему равна доля распавшихся молекул?

Уравнение Клапейрона-Менделеева до и после нагрева соответственно: \(p_1V=\frac{N_1}{N_A}RT_1\) \(p_2V=\frac{N_2}{N_A}RT_2\) Поделим верхнее выражение на нижнее: \(\frac{p_1}{p_2}=\frac{N_1}{N_2}\cdot\frac{T_1}{T_2}\) \(\frac{N_2}{N_1}=\frac{T_1}{T_2}\cdot\frac{p_2}{p_1}\) Начальное количество молекул: \(N_1=N_0\) Распавшиеся молекулы: \(\alpha N_0\), при распаде их количество: \(2\alpha N_0\) Нераспавшиеся молекулы: \(N_0-\alpha N_0=N_0(1-\alpha)\) Конечное количество молекул: \(N_2=N_0(1-\alpha)+2\alpha N_0\) \(\frac{N_0(1-\alpha)+2\alpha N_0}{N_0}=\frac{T_1}{T_2}\cdot\frac{p_2}{p_1}\) \(1+\alpha=\frac{T_1}{T_2}\cdot\frac{p_2}{p_1}\) Доля распавшихся молекул: \(\alpha=\frac{T_1}{T_2}\cdot\frac{p_2}{p_1}-1=\frac{1}{12}\cdot\frac{60~атм}{4~атм}-1=\frac{5}{4}-1=0,25\) Ответ: 0,25 https://youtu.be/QkGC-mG2WHY

Минимальная температура, достигаемая порцией углекислого газа в ходе циклического процесса, \(pV\)-диаграмма которого представлена на рисунке, равна \(310\) К. Чему равна масса данной порции? Ответ дайте в г, округлив до десятых.

Температура будет минимальной при наименьших объеме и давлении, следовательно, наименьшая температура на диаграмме находится в левом нижнем углу квадрата. \(pV=\frac{m}{M}RT\Rightarrow m=\frac{pVM}{RT}=\frac{200\cdot 10^3\cdot 3\cdot 10^{-3}\cdot 44\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 310}=0,010248~кг\approx 10,2~г\) Ответ: 10,2 г https://youtu.be/Uvx_yPTKgzk

Циклический процесс, \(pV\)-диаграмма которого представлена на рисунке ниже, происходит с одним моль идеального одноатомного газа при работе тепловой машины. Определите, во сколько раз КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно при значениях температуры холодильника и нагревателя, соответствующих минимальной и максимальной температуре газа за цикл на графике, превышает КПД данной тепловой машины.

Найдем КПД цикла Карно. Для этого рассмотрим все состояния, чтобы определить максимальную и минимальную температуры: \(p_0V_0=\nu RT_4~(точка~4)\\ 4p_03V_0=\nu rT_1~(точка~1)\\ 4p_06V_0=\nu RT_2~(точка~2)\\ p_04V_0=\nu RT_3~(точка~3)\) Следовательно, \(T_4<T_3<T_1<T_2\Rightarrow T_н=T_2,T_x=T_4\) КПД найдем по формуле: \(\eta_к=1-\frac{T_x}{T_н}=1-\frac{\nu RT_4}{\nu RT_2}=1-\frac{p_0V_0}{24p_0V_0}=0,958\) Найдем КПД обычного цикла: \(\eta =\frac{A}{Q_н}\) Работу найдем как площадь фигуры: \(A=(4p_0-p_0)(4V_0-V_0)=9p_0V_0\) Рассмотрим процесс 4-1: \(A_{41}=\frac{p_0+4p_0}{2}(3V_0-V_0)=5p_0V_0\\ \Delta U_{41}=\frac{3}{2}(\nu RT_1-\nu RT_4)=\frac{3}{2}(12p_0V_0-p_0V_0)=\frac{33}{2}p_0V_0\) Согласно первому закону термодинамики: \(Q_{41}=\Delta U_{41}+A_{41}=5p_0V_0+\frac{33}{2}p_0V_0=21,5p_0V_0\) Рассмотрим процесс 1-2: \(A_{12}=4p_0(6V_0-3V_0)=12p_0V_0\\ \Delta U_{12}=\frac{3}{2}(\nu RT_2-\nu RT_1)=\frac{3}{2}(24p_0V_0-12p_0V_0)=18p_0V_0\) Согласно первому закону термодинамики: \(Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=12p_0V_0+18p_0V_0=30p_0V_0\) Рассмотрим процесс 2-3: \(T\) уменьшается, \(V\) уменьшается, следовательно, внутренняя энергия и работа на данном участке уменьшаются и согласно первому закону термодинамики \(Q_{23}<0\) Рассмотрим процесс 3-4: Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона: \(pV=\nu RT,\) где \(p=const, V\) уменьшается, следовательно температура уменьшается, \(\Delta U_{34}<0,A_{34}<0\) и согласно первому началу термодинамики \(Q_{34}<0\) Получаем, что \(Q_н=Q_{12}+Q_{41}=21,5p_0V_0+30p_0V_0=51,5p_0V_0\) \(\eta =\frac{9p_0V_0}{51,5p_0V_0}=0,175\) Найдем искомое отношение: \(\frac{\eta_к}{\eta}=\frac{0,958}{0,175}=5,47\) Ответ: 5,47 https://youtu.be/C1Uo2dokYN4

Одноатомный идеальный газ находится в горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем. Пружина жесткостью \(k\) связывает основание цилиндра и поршень. Расстояние между поршнем и основанием цилиндра в начальном положении равно \(L\), а давление газа равно атмосферному \(p_0\) (см. рисунок). Газ отдал количество теплоты \(Q\), в результате чего поршень медленно переместился влево на расстояние \(b\). Найдите площадь поршня \(S\).

Согласно условию газ отдал количество теплоты: \(-Q=A+\Delta U\) Так как в начале давление слева и справа одинаковое, то \(F_{упр}=0\), внешние силы-это все силы, кроме газа \(A_{в.с.}=A_{пр}+A_{атм}\\ A=-A_{в.с.}\\ -Q=-A_{пр}-A_{атм}+\Delta U\\ A_{пр}=-\Delta E_{пот}=-(\frac{kb^2}{2}-0)=-\frac{kb^2}{2}\\ A_{атм}=F_{атм}b\cos 90^\circ =p_0Sb\\ F_{атм}=p_0S\) Внутреннюю энергию найдем по формуле: \(\Delta U=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_0V_1),\) где \(V_2=S(L-b),V_1=Sl\) Запишем второй закон Ньютона для поршня: \(F_г-F_{атм}+F_{упр}=0,\) где \(F_г=p_2S\) Следовательно: \(p_2S-p_0S+kb=0\Rightarrow p_2=p_0-\frac{kb}{S}\) Подставим полученные формулы в формулу первого закона термодинамики: \(-Q=-(-\frac{kb^2}{2})-p_0Sb+\frac{3}{2}(p_0-\frac{kb}{S})(S(L-b)-p_0Sl)\\ -Q=\frac{kb^2}{2}-p_0Sb+\frac{3}{2}(p_0Sl-p_0Sb-kbL+kb^2-p_0Sl)\\ -Q=\frac{kb^2}{2}-p_0Sb-\frac{3}{2}p_0Sb-\frac{3}{2}kbL+\frac{3}{2}kb^2\\ -Q=2kb^2-\frac{5}{2}p_0Sb-\frac{3}{2}kbL\\ S=\frac{2kb^2-\frac{3}{2}kbL+Q}{\frac{5}{2}p_0b}\) Ответ: \(S=\frac{2kb^2-\frac{3}{2}kbL+Q}{\frac{5}{2}p_0b}\) https://youtu.be/VacPzKH-_dw