Решите уравнение $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$ .

Решение: $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$ Пусть $(x+2)^2=t$, тогда $(x+2)^4=t^2$. $t \geqslant 0$ $t^2-4t-5=0$ $D=b^2-4ac=16+20=36$ $t_1=\cfrac{4+6}{2}$ $t_1=5$ $t_2=\cfrac{4-6}{2}$ $t_2=-1$ – не удовлетворяет $t \geqslant 0$ $(x+2)^2=5$ $x=-\sqrt{5}-2$ $x=\sqrt{5}-2$ Ответ: $-\sqrt{5}-2; \sqrt{5}-2$

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны $35$ и $125$. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Дано: $\triangle ABC$ $-$ прямоугольный $АС=35$ $AB=125$ $CH \perp AB$ Найти: $СН-?$ Решение: $1. AC^2+BC^2=AB^2$ $-$ по теореме Пифагора $BC=\sqrt{AB^2-AC^2} = \sqrt{125^2-35^2}=\sqrt{14400}=120$ 2. $S_{ABC}=\cfrac{1}{2}CH \cdot AB$ 3. $\triangle CHB:$ $\sin{B}=\cfrac{CH}{BC}$ $\triangle ABC:$ $sin{B}=\cfrac{AC}{AB}$ $\cfrac{CH}{BC} = \cfrac{AC}{AB}$ $CH = \cfrac{AC \cdot BC}{AB} = \cfrac{35 \cdot 120}{125} =33,6$

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

Дано: $\angle ABC >90^o$ $AA_1 \perp BC$ $CC_1 \perp AC$ Доказать: $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ Доказательство: Опишем окружность около $\triangle AA_1C$ $\angle AA_1C =90^o$ (вписанный) $\Rightarrow AC$ - диаметр Опишем окружность около $\triangle AC_1C$, т.к. $\angle AC_1C=90^o$ (вписанный) $\Rightarrow AC$ - диаметр $\angle C_1A_1C=\angle C_1AC$ - опираются на одну дугу $CC_1$ $\angle A_1BC_1=\angle ABC$ - вертикальные Тогда $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ - по 2-ум углам, ч.т.д.

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 8$, $BC = 4$.

Решение: $AB\cap CD=F$ $EF^{2}=FC\cdot FD$ Пусть угол ADC =$\alpha$ , тогда угол FCB=$\alpha$ (соответственные углы при $BC\parallel AD$ и секущей CD) $\angle BFC = 90^\circ - \angle FCB = 90^\circ -\alpha$ $\bigtriangleup EFK$ : $\angle FEK = 90^\circ - \angle EFK = 90^\circ - (90^\circ - \alpha ) = \alpha$ $\Rightarrow$$\angle FCB = \angle FEK=\angle FDA$ $\bigtriangleup FBC$ : $\cos\alpha=\frac{BC}{FC}\Rightarrow FC=\frac{BC}{\cos\alpha}=\frac{4}{\cos\alpha}$ $\bigtriangleup EFK$ : $cos\alpha=\frac{EK}{EF}\Rightarrow EF=\frac{EK}{cos\alpha}$ $\bigtriangleup AFD$ : $cos\alpha=\frac{AD}{FD}\Rightarrow FD=\frac{AD}{cos\alpha}=\frac{8}{cos\alpha}$ $\left( \frac{EK}{cos\alpha} \right)^{2}=\frac{4}{cos\alpha}\cdot \frac{8}{cos\alpha}$ $\frac{EK^{2}}{cos^{2}\alpha}=\frac{32}{cos^{2}\alpha}|\cdot cos^{2}\alpha\neq 0$ $EK^{2}=32$ $EK=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 12 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 151541 балл
Анализ геометрических высказываний
Укажите номера верных утверждений.
Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
В любой ромб можно вписать окружность.
id 151552 балла
Уравнения
Решите уравнение $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$ .
id 151562 балла
Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны $35$ и $125$ . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
id 151572 балла
Треугольники
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$ . Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.
id 151582 балла
Комбинаци окружностей и многоугольников
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$ . Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$ . Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ , если $AD = 8$ , $BC = 4$ .