Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые AB и IJ перпендикулярны.

Доказать: \(AB \perp IJ\) 1. Проведем IA, IB - радиусы окр. \(\Rightarrow IA=IB\) 2. Проведем JA=JB - радиусы т. J равноудалена от концов отрезка AB т. I равноудалена от концов отрезка AB \(\Rightarrow IJ\) - серединный перпендикуляр к AB \(\Rightarrow IJ \perp AB\) , ч.т.д.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен \(80\), а площадь равна \(320\), можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение: \(BC+AD = AB + CD\) (признак описанного четырёхугольника) \(P_{ABCD}=(BC+AD)+(AB + CD)=80\) \(\Rightarrow BC+AD = AB + CD=\frac{80}{2}=40\) Продлим ОН до пересечения с АD в точке К Так как \(OH\bot BC; BC\parallel AD\Rightarrow OH\bot AD\Rightarrow HK\) -высота трапеции \(S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HK=\frac{40}{2}\cdot HK=20\cdot HK=320\) \(\Rightarrow HK=\frac{320}{20}=16\) Проведём \(BE\bot AD,CM\bot AD\) \(BE=CM=HK=16 (высоты трапеции)\) \(\bigtriangleup ABE\) - прямоугольный По теореме Пифагора: \(AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}\) \(AE=\sqrt{20^{2}-16^{2}}=\sqrt{144}=12\) \(\bigtriangleup ABE\) и \(\bigtriangleup CMD\) : \(AB=CD\), \(BE=CM\) \(\Rightarrow \bigtriangleup ABE=\bigtriangleup CMD\) (по гипотенузе и катету) \(\Rightarrow AE=MD=12\) Пусть \(BC=x\) \(BCME\) - прямоугольник \(\Rightarrow BC=EM=x\Rightarrow AD=AE+EM+MD=x+12+12=24+x\) \(AD+BC=40\) \(x+24+x=40\) \(2x=16\) \(x=8\) \(\Rightarrow BC=8\Rightarrow AD=8+24=32\) Рассмотрим \(\bigtriangleup BOC\) и \(\bigtriangleup AOD\) : \(\angle CAD = \angle ACB\) (накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и секущей \(АС\)) \(\angle BOC = \angle AOD\) (как вертикальные) \(\Rightarrow \bigtriangleup BOC\sim \bigtriangleup AOD\) (по двум углам) \(\frac{BC}{AD}=\frac{OH}{OK}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}\) \(OK=4\cdot OH\) \(HK=OH+OK=OH+4OH=5OH\) \(OH=\frac{HK}{5}=\frac{16}{5}=3,2\) Ответ: \(3,2\)