На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(×\) \(1\) см изображена фигура. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Площадь фигуры равна числу полных квадратных клеток внутри фигуры, то есть \(15\) см\(^2\).

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось \(3\) км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг\(6\) минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на \(5\) км/ч меньше скорости второго.

Решение: Пусть \(х км/ч\)\(-\) скорость 1-го бегуна Тогда \(х+5 км/ч\)\(-\) скорость 2-го бегуна 1) \(x\cdot 1 + 3=(3+x)\) км Расстояние 1 круга 2) \(60-6=54\) минут - \(t_2\) (прошел круг) \(=\cfrac{54}{60}=\cfrac{9}{10}\)ч 3) \(\cfrac{9}{10}(x+5)\) км \(- S\) 2-го круга \(3+x=\cfrac{9}{10}(x+5)\) \(10x+30=9x+45\) \(x=45-30\) \(x=15\)

Постройте график функции \(y = \cfrac{(0,25x^2 - x)|x| }{x - 4}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет общих точек.

ОДЗ: \(x-4\not=0\) \(x\not=4\) Упростим выражение: \(\dfrac{\left( 0,25x^{2}-x \right)|x|}{x-4}=\dfrac{0,25x\left( x-4 \right)|x|}{x-4}=0,25x|x|\) Раскроем модуль по правилу раскрытия модуля 1) При \(x\ge 0\) \(y=0,25x^{2}\) \(-\) парабола, ветви вверх Вершина: \(x_{0}=-\dfrac{b}{2a}=0\) \(y_{0}=0\) \(A(0; 0)\) \(х\) | \(4\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) | \(5\) \(у\) | \(4\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(1\) | \(2\dfrac{1}{4}\) | \(9\) | \(6\dfrac{1}{4}\) 2) При \(x\lt 0\) \(y=-0,25x^{2}\) \(-\)парабола, ветви вниз Вершина: \(x_{0}=-\dfrac{b}{2a}=0\) \(y_{0}=0\) \(A(0; 0)\) \(х\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) \(у\) | \(-\dfrac{1}{4}\) | \(-1\) | \(-4\) Найдём \(m\): \(у=m -\)прямая, параллельная Ох При \(m\in \left( -∞;4 \right)\)\(-\)\(1\) общая точка При \(m=4 - 0\) общих точек При \(m\in \left( 4;+∞ \right)\) \(–\) \(1\) общая точка

Отрезки \(AB\) и \(DC\) лежат на параллельных прямых, а отрезки \(AC\) и \(BD\)пересекаются в точке \(M\). Найдите \(MC,\) если \(AB = 13\), \(СD = 65\), \(AС = 42\).

Дано: \(AB||CD\) \(AC\) пересекает \(BD\) в точке \(М\) \(АВ=13\) \(CD=65\) \(АС=42\) \(МС-?\) Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle ABM\) и \(\triangle DMC\) \(\angle MDC =\angle MBA\) \(-\)накрест лежащие при \(AB||CD\) и секущей \(BD\) \(\angle AMB = \angle DMC\) \(-\)вертикальные Тогда \(\triangle AMB \sim \triangle DMC\) \(-\) по 2-ум углам Пусть \(МС=х\), тогда \(АМ=АС-МС=42-х\) \(\cfrac{AB}{DC}=\cfrac{AM}{MC}\) \(\cfrac{13}{65}=\cfrac{42-x}{x}\)\(-\) сократим на \(5\) \(x=5(42-x)\) \(x=210-5x\) \(6x=210\) \(x=35\)