Банк заданий
ОГЭ по математике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ равны.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$, причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL$. Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.

Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D$, причём точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Докажите, что $CD$ и $EF$ перпендикулярны.

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причём точки $I$ и $J$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Докажите, что прямые $AB$ и $IJ$ перпендикулярны.

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T$, причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST$. Докажите, что прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a : b$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a : b$.

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m : n$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m : n$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $60$ км. На следующий день он отправился обратно в $A$, увеличив скорость на $10$ км/ч. По пути он сделал остановку на $3$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $209$ км. На следующий день он отправился обратно в $A$, увеличив скорость на $8$ км/ч. По пути он сделал остановку на $8$ часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $180$ км. На следующий день он отправился обратно в $A$, увеличив скорость на $5$ км/ч. По пути он сделал остановку на $3$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $105$ км. На следующий день он отправился обратно в $A$, увеличив скорость на $16$ км/ч. По пути он сделал остановку на $4$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $224$ км. На следующий день он отправился обратно в $A$, увеличив скорость на $2$ км/ч. По пути он сделал остановку на $2$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $112$ км. На следующий день он отправился обратно в $A$, увеличив скорость на $9$ км/ч. По пути он сделал остановку на $4$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $105$ км. На следующий день он отправился обратно в $A$, увеличив скорость на $6$ км/ч. По пути он сделал остановку на $2$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $208$ км. На следующий день он отправился обратно в $A$, увеличив скорость на $3$ км/ч. По пути он сделал остановку на $3$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$.

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на $36$ минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет $82$ км, скорость первого велосипедиста равна $28$ км/ч, скорость второго – $10$ км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на $56$ минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет $182$ км, скорость первого велосипедиста равна $13$ км/ч, скорость второго – $15$ км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на $2$ минуты, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет $277$ км, скорость первого велосипедиста равна $16$ км/ч, скорость второго – $30$ км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на $51$ минуту, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет $251$ км, скорость первого велосипедиста равна $10$ км/ч, скорость второго – $20$ км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.