Вычисления с рациональными числами нужны в заданиях по математике: в арифметических примерах, преобразованиях выражений и уравнениях. Эти правила изучают в 7 классе, но используют дальше во всей алгебре. Чаще всего ошибки возникают из-за знаков: минус теряется при сложении дробей или неверно появляется при умножении. Разберём правила действий с рациональными числами и применим их в трёх примерах.
Теория по частям
В этой записи $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Множество рациональных чисел обозначают латинской буквой $Q$.
К рациональным числам относятся целые числа, конечные десятичные дроби и обыкновенные дроби.
Сложение и вычитание со знаками
При сложении чисел с разными знаками сначала нужно сравнить их модули. Модуль — это расстояние от числа до нуля, поэтому он всегда неотрицательный.
Алгоритм такой:
- Найди модули чисел.
- Из большего модуля вычти меньший.
- Перед результатом поставь знак того числа, чей модуль больше.
Например, в выражении $-7 + 3$ модуль числа $-7$ больше модуля $3$, поэтому ответ будет отрицательным: $-7 + 3 = -4$.
Вычитание удобно заменять сложением с противоположным числом: $a-b = a + (-b).$
Это правило помогает не терять знак при раскрытии выражений.
Умножение и деление
При умножении и делении знак результата зависит от знаков исходных чисел.
- Если знаки одинаковые, результат положительный.
- Если знаки разные, результат отрицательный.
- На нуль делить нельзя.
Например: $(-3) \cdot (-5) = 15, \quad (-12) : 4 = -3.$
Главное отличие от сложения: правило «два минуса дают плюс» работает только при умножении, делении и вычитании отрицательного числа.
Как решать выражения пошагово
Чтобы не путаться в длинных вычислениях, используй один порядок действий.
- Выполни действия в скобках.
- Затем выполни умножение и деление.
- Сложение и вычитание оставь на конец.
- Приведи числа к одному формату: дроби к дробям или десятичные записи к десятичным.
- Определи знак каждого числа.
- Выполни действие с модулями.
- Поставь знак результата по правилу для выбранного действия.
Этот алгоритм особенно полезен в выражениях, где рядом стоят дроби, десятичные числа и отрицательные значения.
Детальный разбор трёх примеров
Пример: дроби с разными знаменателями
Условие
Нужно вычислить: $\frac{1}{3}-\frac{3}{4}.$
Шаг 1. Заменяем вычитание сложением с противоположным числом: $\frac{1}{3} + \left(-\frac{3}{4}\right).$
Шаг 2. Приводим дроби к общему знаменателю. Для чисел $3$ и $4$ общий знаменатель — $12$: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad -\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}.$ Получаем: $\frac{4}{12} + \left(-\frac{9}{12}\right).$
Шаг 3. Складываем числа с разными знаками. Модуль второго числа больше, поэтому итоговый ответ будет отрицательным: $-\left(\frac{9}{12}-\frac{4}{12}\right) = -\frac{5}{12}.$
Ответ: $-\frac{5}{12}$.
Пример: десятичные числа с разными знаками
Условие
Нужно сложить $-2{,}5$ и $4{,}8$.
Шаг 1. Сравниваем знаки. Первое число отрицательное, второе положительное.
Шаг 2. Сравниваем модули:
$|-2{,}5| = 2{,}5,$
$|4{,}8| = 4{,}8.$
Модуль числа $4{,}8$ больше, значит, результат будет положительным.
Шаг 3. Из большего модуля вычитаем меньший: $4{,}8-2{,}5 = 2{,}3.$
Ответ: $2{,}3$.
Пример: буквенное выражение
Условие
Нужно упростить выражение: $(7axy-(-4xya)) : 11yax.$
Шаг 1. Раскрываем скобки в первой части выражения. Два минуса подряд дают плюс: $7axy-(-4xya) = 7axy + 4xya.$
Шаг 2. Используем переместительное свойство умножения. Произведение $xya$ совпадает с произведением $axy$, потому что множители можно менять местами.
Значит, слагаемые подобные: $7axy + 4xya = 7axy + 4axy = 11axy.$
Шаг 3. Делим полученное выражение на $11yax$: $11axy : 11yax.$
Буквенные части $axy$ и $yax$ совпадают, поэтому одинаковые множители сокращаются. При $a \ne 0$, $x \ne 0$, $y \ne 0$ получаем: $\frac{11axy}{11yax} = 1.$
Ответ: $1$.
Типичные ошибки
Путаница сложения и умножения
Ошибка выглядит так: в выражении $-4-5$ записывают ответ $9$, потому что вспоминают правило «минус на минус даёт плюс».
Так делать нельзя. Это правило работает при умножении, делении и вычитании отрицательного числа. В выражении $-4-5$ нужно заменить вычитание сложением с противоположным числом: $-4-5 = -4 + (-5) = -9.$
Действия с разными форматами чисел
Сложение дроби $\frac{1}{3}$ и десятичного числа $0{,}5$ в уме часто приводит к ошибке. Удобнее сначала привести числа к одному формату.
Например: $0{,}5 = \frac{1}{2}.$
Теперь можно найти общий знаменатель: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}.$
Потеря знака при раскрытии скобок
Если перед скобками стоит минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются: $-(a-b + c) = -a + b-c.$
Ошибка появляется, когда меняют знак только у первого слагаемого. Проверяй каждое слагаемое внутри скобок отдельно.
Быстрая проверка знаний
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найди сумму $-3{,}2 + (-1{,}8)$.
Задание 2. Упрости выражение $-a \cdot (-b) \cdot 5$.
Задание 3. Вычисли $\frac{2}{5}-0{,}7$.
Ответ к заданию 1. $-3{,}2 + (-1{,}8) = -5$. Складываем модули двух отрицательных чисел и оставляем общий знак минуса.
Ответ к заданию 2. $-a \cdot (-b) \cdot 5 = 5ab$. Два отрицательных множителя дают положительный результат, а числовой коэффициент записывают перед буквенной частью.
Ответ к заданию 3. $\frac{2}{5}-0{,}7 = -0{,}3$. Удобно перевести дробь в десятичный вид: $\frac{2}{5} = 0{,}4.$ Тогда: $0{,}4-0{,}7 = -0{,}3.$
Заключение
Рациональные числа включают целые числа и дроби, поэтому действия с ними встречаются почти во всех темах школьной алгебры. Теперь ты умеешь определять знак результата, складывать числа с разными знаками, заменять вычитание сложением с противоположным числом и упрощать выражения с буквами. При подготовке к контрольным работам особенно внимательно проверяй минусы: большинство ошибок в таких примерах связано именно со знаками. Чтобы закрепить тему, порешай выражения с дробями и десятичными числами в «100балльном банке» и каждый раз отдельно проговаривай правило выбора знака.
