Арифметика с рациональными числами

В этой записи $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Множество рациональных чисел обозначают латинской буквой $Q$.

К рациональным числам относятся целые числа, конечные десятичные дроби и обыкновенные дроби.

Сложение и вычитание со знаками

При сложении чисел с разными знаками сначала нужно сравнить их модули. Модуль — это расстояние от числа до нуля, поэтому он всегда неотрицательный.

Алгоритм такой:

1. Найди модули чисел.
2. Из большего модуля вычти меньший.
3. Перед результатом поставь знак того числа, чей модуль больше.

Например, в выражении $-7+3$ модуль числа $-7$ больше модуля $3$, поэтому ответ будет отрицательным: $-7+3=-4$.

Вычитание удобно заменять сложением с противоположным числом: $a-b=a+(-b).$

Это правило помогает не терять знак при раскрытии выражений.

Умножение и деление

При умножении и делении знак результата зависит от знаков исходных чисел.

• Если знаки одинаковые, результат положительный.
• Если знаки разные, результат отрицательный.
• На нуль делить нельзя.

Например: $(-3)·(-5)=15,(-12):4=-3.$

Главное отличие от сложения: правило «два минуса дают плюс» работает только при умножении, делении и вычитании отрицательного числа.

Чтобы не путаться в длинных вычислениях, используй один порядок действий.

1. Выполни действия в скобках.
2. Затем выполни умножение и деление.
3. Сложение и вычитание оставь на конец.
4. Приведи числа к одному формату: дроби к дробям или десятичные записи к десятичным.
5. Определи знак каждого числа.
6. Выполни действие с модулями.
7. Поставь знак результата по правилу для выбранного действия.

Этот алгоритм особенно полезен в выражениях, где рядом стоят дроби, десятичные числа и отрицательные значения.

Пример: дроби с разными знаменателями

Условие

Нужно вычислить: $\frac{1}{3}-\frac{3}{4}.$

Пример: десятичные числа с разными знаками

Условие

Нужно сложить $-2,5$ и $4,8$.

Пример: буквенное выражение

Условие

Нужно упростить выражение: $(7axy-(-4xya)) : 11yax.$

Путаница сложения и умножения

Ошибка выглядит так: в выражении $-4-5$ записывают ответ $9$, потому что вспоминают правило «минус на минус даёт плюс».

Так делать нельзя. Это правило работает при умножении, делении и вычитании отрицательного числа. В выражении $-4-5$ нужно заменить вычитание сложением с противоположным числом: $-4-5=-4+(-5)=-9.$

Действия с разными форматами чисел

Сложение дроби $\frac{1}{3}$ и десятичного числа $0,5$ в уме часто приводит к ошибке. Удобнее сначала привести числа к одному формату.

Например: $0,5=\frac{1}{2}.$

Теперь можно найти общий знаменатель: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}.$

Потеря знака при раскрытии скобок

Если перед скобками стоит минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются: $-(a-b+c)=-a+b-c.$

Ошибка появляется, когда меняют знак только у первого слагаемого. Проверяй каждое слагаемое внутри скобок отдельно.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найди сумму $-3,2+(-1,8)$.

Задание 2. Упрости выражение $-a·(-b)·5$.

Задание 3. Вычисли $\frac{2}{5}-0,7$.

Рациональные числа включают целые числа и дроби, поэтому действия с ними встречаются почти во всех темах школьной алгебры. Теперь ты умеешь определять знак результата, складывать числа с разными знаками, заменять вычитание сложением с противоположным числом и упрощать выражения с буквами. При подготовке к контрольным работам особенно внимательно проверяй минусы: большинство ошибок в таких примерах связано именно со знаками. Чтобы закрепить тему, порешай выражения с дробями и десятичными числами в «100балльном банке» и каждый раз отдельно проговаривай правило выбора знака.