Формулы периметра, площади и объёма нужны уже в 6 классе, а позже становятся базой для сложных заданий по математике. Ошибки в этой теме чаще всего возникают из-за путаницы между длиной, площадью и объёмом, а также из-за неправильного перевода единиц измерения. Разберём основные формулы, алгоритм решения задач и примеры с прямоугольником, параллелепипедом, кубом, окружностью и кругом.

Что нужно знать перед решением задач

Периметр, площадь и объём отвечают на разные вопросы:

Периметр показывает длину границы фигуры.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости.
Объём показывает, сколько места занимает тело в пространстве или сколько вещества может поместиться внутри.

Главное правило по единицам измерения:

периметр измеряется в миллиметрах, сантиметрах, метрах и других обычных единицах длины;
площадь измеряется в квадратных единицах: ${см}^{2}$ , $м^{2}$ , гектарах;
объём измеряется в кубических единицах: ${см}^{3}$ , $м^{3}$ — или в литрах.

Периметр

Периметр обозначают буквой $P$ .

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ : $P = 2 \cdot (a + b)$ .

Для квадрата со стороной $a$ : $P = 4 \cdot a$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Площадь

Площадь обозначают буквой $S$ .

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ : $S = a \cdot b$ .

Для квадрата со стороной $a$ : $S = a^{2}$ .

Объём

Объём обозначают буквой $V$ .

Прямоугольный параллелепипед похож на кирпич или коробку. Чтобы найти его объём, нужно перемножить длину, ширину и высоту: $V = a \cdot b \cdot c$ .

Отдельно встречается площадь поверхности объёмных тел. Она пригодится, если требуется найти, сколько материала потребуется для оклейки или покраски фигуры снаружи.

Для прямоугольного параллелепипеда: $S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$ .

Для куба: $S = 6 \cdot a^{2}$ .

Окружность и круг

Длина окружности: $C = 2 \cdot π \cdot R$ .

Площадь круга: $S = π \cdot R^{2}$ .

Алгоритм решения задач

Чтобы не запутаться в формулах, удобно действовать по одному плану.

Прочитай условие и запиши, что дано.
Проверь единицы измерения. Если длина дана в дециметрах, а ширина в сантиметрах, сначала переведи всё в одну единицу.
Определи, что нужно найти: периметр, площадь, объём или площадь поверхности.
Запиши подходящую формулу.
Подставь числа и выполни вычисления.
Проверь ответ: оцени, подходит ли получившееся число по смыслу, и обязательно укажи единицы измерения.

Подробный разбор задач

Участок земли

Условие

Длина прямоугольного участка земли равна $25$ м, а его ширина составляет $12$ м. Найди периметр и площадь этого участка.

Шаг 1. Фигура — прямоугольник. Даны стороны: $a = 25$ м, $b = 12$ м.

Единицы измерения одинаковые, переводить ничего не нужно. Нужно найти $P$ и $S$ .

Шаг 2. Сначала найдём периметр: $P = 2 \cdot (a + b)$ .

Подставим числа: $P = 2 \cdot (25 + 12) = 2 \cdot 37 = 74$ м.

Шаг 3. Теперь найдём площадь:
$S = a \cdot b$ ,
$S = 25 \cdot 12 = 300$ $м^{2}$ .
Ответ: периметр равен $74$ м, площадь равна $300$ $м^{2}$ .

Аквариум и литры

Условие

Найди объём прямоугольного аквариума, если его длина равна $80$ см, ширина — $40$ см, а высота — $50$ см. Сколько литров воды вмещает этот аквариум?

Шаг 1. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Даны три измерения: $a = 80$ см, $b = 40$ см, $c = 50$ см.

Шаг 2. Все величины даны в сантиметрах. Найдём объём в кубических сантиметрах: $V = a \cdot b \cdot c$ ,
$V = 80 \cdot 40 \cdot 50 = 160 000$ ${см}^{3}$ .

Шаг 3. Теперь переведём кубические сантиметры в литры.

$1$ литр равен $1$ ${дм}^{3}$ .

В одном дециметре $10$ сантиметров, значит, $1$ ${дм}^{3} = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ ${см}^{3}$ .

Шаг 4. Делим объём на $1000$: $160 000$ ${см}^{3} = 160$ ${дм}^{3}$ .

Значит, аквариум вмещает $160$ литров воды.

Ответ: объём аквариума равен $160 000$ ${см}^{3}$ , он вмещает $160$ литров воды.

Круг и окружность

Условие

Вычисли длину окружности и площадь круга, если его радиус равен $5$ см. Прими $π \approx 3, 14$ .

Шаг 1. Дан радиус: $R = 5$ см. Также известно: $π \approx 3, 14$ .

Нужно найти длину окружности $C$ и площадь круга $S$ .

Шаг 2. Сначала найдём длину окружности:
$C = 2 \cdot π \cdot R$ ,
$C = 2 \cdot 3, 14 \cdot 5$ .
Шаг 3. Удобно сначала умножить $2$ на $5$: $2 \cdot 5 = 10$ .
Тогда $C = 10 \cdot 3, 14 = 31, 4$ см.

Шаг 4. Теперь найдём площадь круга:
$S = π \cdot R^{2}$ ,
$S = 3, 14 \cdot 5^{2}$ .

Шаг 5. Возводим радиус в квадрат: $5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$ .

Тогда $S = 3, 14 \cdot 25 = 78, 5$ ${см}^{2}$ .

Ответ: длина окружности равна $31, 4$ см, площадь круга равна $78, 5$ ${см}^{2}$ .

Типичные ошибки

Разные единицы измерения

Нельзя умножать $5$ метров на $50$ сантиметров и записывать результат как $250$.

Сначала нужно привести величины к одной единице измерения: $5$ м = $500$ см.

Тогда площадь: $500 \cdot 50 = 25 000$ ${см}^{2}$ .

Путаница между объёмом и площадью поверхности

Если нужно найти количество краски для куба, объём $V = a^{3}$ не подходит. Краска покрывает поверхность, поэтому нужна формула: $S = 6 \cdot a^{2}$ .

Объём используют, когда тело заполняют изнутри: водой, воздухом, песком и так далее.

Забытый квадрат радиуса

При поиске площади круга нельзя умножать число $π$ только на радиус.

Нужно использовать формулу: $S = π \cdot R^{2}$ .

Если $R = 5$ см, то сначала считаем: $R^{2} = 5^{2} = 25$ .

И только потом умножаем на $π$ .

Ошибка при переводе в литры

Нужно запомнить связь: $1$ л = $1$ ${дм}^{3} = 1000$ ${см}^{3}$ .

Поэтому при переводе кубических сантиметров в литры число делят на $1000$.

Самопроверка

Реши упражнения самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найди площадь прямоугольника, если его длина равна $40$ мм, а ширина — $2$ см.

Задание 2. Чему равен периметр квадрата со стороной $9$ дм?

Задание 3. Вычисли объём куба с ребром $4$ м.

Задание 4. Найди площадь поверхности куба, если известно, что его объём равен $8$ ${см}^{3}$ .

Ответ к заданию 1. Переведём $2$ см в миллиметры: $2$ см = $20$ мм.
Площадь: $40 \cdot 20 = 800$ ${мм}^{2}$ .
Также можно записать ответ как $8$ ${см}^{2}$ .

Ответ к заданию 2. Периметр квадрата:
$P = 4 \cdot a$ ,
$P = 4 \cdot 9 = 36$ дм.

Ответ к заданию 3. Объём куба: $V = a^{3}$ ,
$V = 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ $м^{3}$ .

Ответ к заданию 4. Если объём куба равен $8$ ${см}^{3}$ , то $a^{3} = 8$ .
Значит, ребро куба равно $2$ см.
Площадь поверхности куба:
$S = 6 \cdot a^{2}$ ,
$S = 6 \cdot 2^{2} = 6 \cdot 4 = 24$ ${см}^{2}$ .

Заключение

Теперь ты умеешь различать периметр, площадь, объём и площадь поверхности. Периметр измеряется в обычных единицах длины, площадь — в квадратных единицах, объём — в кубических единицах или литрах. Перед вычислениями всегда проверяй, совпадают ли единицы измерения в условии. Эти формулы пригодятся в школьных задачах 6 класса и станут базой для дальнейшей подготовки к экзаменам по математике. Чтобы закрепить тему, рекомендуем порешать базовые задачи в «100балльном банке».

Формулы периметра, площади и объёма: теория и примеры для 6 класса

Что нужно знать перед решением задач

Периметр

Площадь

Объём

Окружность и круг

Алгоритм решения задач