Формулы периметра, площади и объёма нужны уже в 6 классе, а позже становятся базой для сложных заданий по математике. Ошибки в этой теме чаще всего возникают из-за путаницы между длиной, площадью и объёмом, а также из-за неправильного перевода единиц измерения. Разберём основные формулы, алгоритм решения задач и примеры с прямоугольником, параллелепипедом, кубом, окружностью и кругом.
Что нужно знать перед решением задач
Периметр, площадь и объём отвечают на разные вопросы:
- Периметр показывает длину границы фигуры.
- Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости.
- Объём показывает, сколько места занимает тело в пространстве или сколько вещества может поместиться внутри.
Главное правило по единицам измерения:
- периметр измеряется в миллиметрах, сантиметрах, метрах и других обычных единицах длины;
- площадь измеряется в квадратных единицах: $\text{см}^2$, $\text{м}^2$, гектарах;
- объём измеряется в кубических единицах: $\text{см}^3$, $\text{м}^3$ — или в литрах.
Периметр
Периметр обозначают буквой $P$.
Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$: $P = 2 \cdot (a + b)$.
Для квадрата со стороной $a$: $P = 4 \cdot a$.
Площадь
Площадь обозначают буквой $S$.
Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$: $S = a \cdot b$.
Для квадрата со стороной $a$: $S = a^2$.
Объём
Объём обозначают буквой $V$.
Прямоугольный параллелепипед похож на кирпич или коробку. Чтобы найти его объём, нужно перемножить длину, ширину и высоту: $V = a \cdot b \cdot c$.
Отдельно встречается площадь поверхности объёмных тел. Она пригодится, если требуется найти, сколько материала потребуется для оклейки или покраски фигуры снаружи.
Для прямоугольного параллелепипеда: $S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$.
Для куба: $S = 6 \cdot a^2$.
Окружность и круг
Длина окружности: $C = 2 \cdot \pi \cdot R$.
Площадь круга: $S = \pi \cdot R^2$.
Алгоритм решения задач
Чтобы не запутаться в формулах, удобно действовать по одному плану.
- Прочитай условие и запиши, что дано.
- Проверь единицы измерения. Если длина дана в дециметрах, а ширина в сантиметрах, сначала переведи всё в одну единицу.
- Определи, что нужно найти: периметр, площадь, объём или площадь поверхности.
- Запиши подходящую формулу.
- Подставь числа и выполни вычисления.
- Проверь ответ: оцени, подходит ли получившееся число по смыслу, и обязательно укажи единицы измерения.
Подробный разбор задач
Участок земли
Условие
Длина прямоугольного участка земли равна $25$ м, а его ширина составляет $12$ м. Найди периметр и площадь этого участка.
Шаг 1. Фигура — прямоугольник. Даны стороны: $a = 25$ м, $b = 12$ м.
Единицы измерения одинаковые, переводить ничего не нужно. Нужно найти $P$ и $S$.
Шаг 2. Сначала найдём периметр: $P = 2 \cdot (a + b)$.
Подставим числа: $P = 2 \cdot (25 + 12) = 2 \cdot 37 = 74$ м.
Шаг 3. Теперь найдём площадь:
$S = a \cdot b$,
$S = 25 \cdot 12 = 300$ $\text{м}^2$.
Ответ: периметр равен $74$ м, площадь равна $300$ $\text{м}^2$.
Аквариум и литры
Условие
Найди объём прямоугольного аквариума, если его длина равна $80$ см, ширина — $40$ см, а высота — $50$ см. Сколько литров воды вмещает этот аквариум?
Шаг 1. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Даны три измерения: $a = 80$ см, $b = 40$ см, $c = 50$ см.
Шаг 2. Все величины даны в сантиметрах. Найдём объём в кубических сантиметрах: $V = a \cdot b \cdot c$,
$V = 80 \cdot 40 \cdot 50 = 160\,000$ $\text{см}^3$.
Шаг 3. Теперь переведём кубические сантиметры в литры.
$1$ литр равен $1$ $\text{дм}^3$.
В одном дециметре $10$ сантиметров, значит, $1$ $\text{дм}^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ $\text{см}^3$.
Шаг 4. Делим объём на $1000$: $160\,000$ $\text{см}^3 = 160$ $\text{дм}^3$.
Значит, аквариум вмещает $160$ литров воды.
Ответ: объём аквариума равен $160\,000$ $\text{см}^3$, он вмещает $160$ литров воды.
Круг и окружность
Условие
Вычисли длину окружности и площадь круга, если его радиус равен $5$ см. Прими $\pi \approx 3{,}14$.
Шаг 1. Дан радиус: $R = 5$ см. Также известно: $\pi \approx 3{,}14$.
Нужно найти длину окружности $C$ и площадь круга $S$.
Шаг 2. Сначала найдём длину окружности:
$C = 2 \cdot \pi \cdot R$,
$C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5$.
Шаг 3. Удобно сначала умножить $2$ на $5$: $2 \cdot 5 = 10$.
Тогда $C = 10 \cdot 3{,}14 = 31{,}4$ см.
Шаг 4. Теперь найдём площадь круга:
$S = \pi \cdot R^2$,
$S = 3{,}14 \cdot 5^2$.
Шаг 5. Возводим радиус в квадрат: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Тогда $S = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ $\text{см}^2$.
Ответ: длина окружности равна $31{,}4$ см, площадь круга равна $78{,}5$ $\text{см}^2$.
Типичные ошибки
Разные единицы измерения
Нельзя умножать $5$ метров на $50$ сантиметров и записывать результат как $250$.
Сначала нужно привести величины к одной единице измерения: $5$ м = $500$ см.
Тогда площадь: $500 \cdot 50 = 25\,000$ $\text{см}^2$.
Путаница между объёмом и площадью поверхности
Если нужно найти количество краски для куба, объём $V = a^3$ не подходит. Краска покрывает поверхность, поэтому нужна формула: $S = 6 \cdot a^2$.
Объём используют, когда тело заполняют изнутри: водой, воздухом, песком и так далее.
Забытый квадрат радиуса
При поиске площади круга нельзя умножать число $\pi$ только на радиус.
Нужно использовать формулу: $S = \pi \cdot R^2$.
Если $R = 5$ см, то сначала считаем: $R^2 = 5^2 = 25$.
И только потом умножаем на $\pi$.
Ошибка при переводе в литры
Нужно запомнить связь: $1$ л = $1$ $\text{дм}^3 = 1000$ $\text{см}^3$.
Поэтому при переводе кубических сантиметров в литры число делят на $1000$.
Самопроверка
Реши упражнения самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найди площадь прямоугольника, если его длина равна $40$ мм, а ширина — $2$ см.
Задание 2. Чему равен периметр квадрата со стороной $9$ дм?
Задание 3. Вычисли объём куба с ребром $4$ м.
Задание 4. Найди площадь поверхности куба, если известно, что его объём равен $8$ $\text{см}^3$.
Ответ к заданию 1. Переведём $2$ см в миллиметры: $2$ см = $20$ мм.
Площадь: $40 \cdot 20 = 800$ $\text{мм}^2$.
Также можно записать ответ как $8$ $\text{см}^2$.
Ответ к заданию 2. Периметр квадрата:
$P = 4 \cdot a$,
$P = 4 \cdot 9 = 36$ дм.
Ответ к заданию 3. Объём куба: $V = a^3$,
$V = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ $\text{м}^3$.
Ответ к заданию 4. Если объём куба равен $8$ $\text{см}^3$, то $a^3 = 8$.
Значит, ребро куба равно $2$ см.
Площадь поверхности куба:
$S = 6 \cdot a^2$,
$S = 6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24$ $\text{см}^2$.
Заключение
Теперь ты умеешь различать периметр, площадь, объём и площадь поверхности. Периметр измеряется в обычных единицах длины, площадь — в квадратных единицах, объём — в кубических единицах или литрах. Перед вычислениями всегда проверяй, совпадают ли единицы измерения в условии. Эти формулы пригодятся в школьных задачах 6 класса и станут базой для дальнейшей подготовки к экзаменам по математике. Чтобы закрепить тему, рекомендуем порешать базовые задачи в «100балльном банке».
