Отношение и пропорциональное деление изучают в 6 классе, а затем используют в задачах ОГЭ по математике: в арифметике, геометрии, процентах и практических сюжетах. Ошибки в этой теме чаще всего возникают из-за путаницы между реальными величинами — килограммами, сантиметрами, рублями — и условными частями отношения. Разберём, что означает отношение, как делить число в заданной пропорции и как проверять ответ.
Что такое отношение
Отношением двух чисел называют их частное. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Запись $a : b$ читается так: «$a$ относится к $b$». Её можно записать и в виде дроби: $\frac{a}{b}$. Числа $a$ и $b$ называют членами отношения, при этом $b \ne 0$.
Основное свойство отношения похоже на сокращение дробей: отношение не изменится, если оба его члена умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Например, отношение $15 : 20$ можно сократить. Делим оба члена на $5$: $15 : 20 = 3 : 4$.
Это значит, что $15 : 20$ и $3 : 4$ выражают одно и то же отношение.
Что значит разделить число в заданном отношении
Разделить число в заданном отношении — значит разбить общую величину на части пропорционально указанным числам. Такое действие ещё называют пропорциональным делением.
Например, если число нужно разделить в отношении $2 : 3$, вся величина состоит из $2 + 3 = 5$ равных условных долей.
Алгоритм решения
Чтобы решить задачу на деление в заданном отношении, действуй по шагам:
- Сложи все члены отношения. Так получится общее количество долей.
- Раздели исходное число на сумму долей. Так найдётся значение одной доли.
- Умножь значение одной доли на каждый член отношения. Так получатся искомые части.
Эти задачи можно решать и через уравнение. Для этого вводят переменную $x$, которая обозначает размер одной доли. Оба способа верные, поэтому ниже разберём каждый из них.
Пример: строительный раствор
Условие
Для приготовления строительного раствора на $2$ части цемента берут $3$ части песка и $4$ части воды. Сколько килограммов каждого материала нужно взять, чтобы получить $180$ кг готовой смеси?
Шаг 1. Сначала найдём общее количество частей: $2 + 3 + 4 = 9$.
Шаг 2. Теперь найдём массу одной части: $180 : 9 = 20$ кг.
Шаг 3. Вычислим массу каждого материала:
- цемент: $20 \cdot 2 = 40$ кг;
- песок: $20 \cdot 3 = 60$ кг;
- вода: $20 \cdot 4 = 80$ кг.
Шаг 4. Проверим сумму: $40 + 60 + 80 = 180$. Полученная масса совпала с условием.
Ответ: $40$ кг цемента, $60$ кг песка, $80$ кг воды.
Пример: геометрический отрезок
Условие
Начерчен отрезок длиной $10$ см. Его нужно разделить точкой в отношении $2 : 3$. Найди длину каждой из получившихся частей.
Шаг 1. Пусть длина одной доли равна $x$ см. Тогда первая часть отрезка равна $2x$ см, а вторая — $3x$ см.
Шаг 2. Составим уравнение: $2x + 3x = 10$.
Сложим подобные слагаемые: $5x = 10$.
Найдём $x$: $x = 2$.
Шаг 3. Одна доля равна $2$ см. Значит, длины частей такие:
$2 \cdot 2 = 4$ см,
$3 \cdot 2 = 6$ см.
Ответ: $4$ см и $6$ см.
Пример: распределение прибыли
Условие
Два компаньона вложили деньги в бизнес. Взнос первого составил $300000$ рублей, а второго — $500000$ рублей. За год их предприятие принесло чистую прибыль в размере $80000$ рублей. Как справедливо поделить заработанные средства между партнёрами?
Шаг 1. Прибыль нужно распределить в том же отношении, в котором вносились стартовые суммы. Запишем отношение вкладов: $300000 : 500000$.
Сократим оба числа на $100000$: $300000 : 500000 = 3 : 5$.
Шаг 2. Теперь найдём общее количество долей: $3 + 5 = 8$.
Одна доля равна: $80000 : 8 = 10000$ рублей.
Шаг 3. Рассчитаем выплату для каждого компаньона:
- первый партнёр получит $10000 \cdot 3 = 30000$ рублей;
- второй партнёр получит $10000 \cdot 5 = 50000$ рублей.
Проверим сумму: $30000 + 50000 = 80000$.
Ответ: прибыль нужно разделить так: $30000$ рублей первому партнёру и $50000$ рублей второму.
Типичные ошибки
Даже в простых задачах на отношение легко потерять баллы из-за невнимательности. Проверь три момента.
Путаница в порядке чисел. Если в задаче сказано, что медь, цинк и олово присутствуют в сплаве в отношении $2 : 1 : 5$, то медь соответствует числу $2$, цинк — числу $1$, олово — числу $5$. Менять порядок нельзя.
Ответ записан не до конца. Иногда удаётся найти размер одной доли и сразу записать его в ответ. Это ошибка, если в задаче спрашивают массу, длину или сумму конкретной части. После нахождения одной доли её нужно умножить на соответствующий член отношения.
Смешение долей и реальных единиц. Нельзя складывать условные доли с килограммами, сантиметрами или рублями. Например, запись $2x + 5 = 10$ может быть неверной, если $2x$ — это часть отношения, а $5$ — реальная величина из условия. Сначала выражай все части через одну и ту же величину, а потом составляй уравнение.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем проверь ответы.
Задание 1. Раздели число $45$ в отношении $4 : 5$.
Шаг 1. Всего частей: $4 + 5 = 9$.
Шаг 2. Одна часть равна: $45 : 9 = 5$.
Шаг 3. Искомые числа: $5 \cdot 4 = 20, \, 5 \cdot 5 = 25$.
Ответ: $20$ и $25$.
Задание 2. Для покупки лотерейного билета скинулись два человека: $40$ рублей и $10$ рублей. Выигрыш составил $1000$ рублей. Какую сумму должен получить второй участник?
Шаг 1. Отношение взносов: $40 : 10 = 4 : 1$.
Шаг 2. Всего частей: $4 + 1 = 5$.
Шаг 3. Одна доля равна: $1000 : 5 = 200$ рублей.
Второй участник дал одну долю, значит, он должен получить $200$ рублей.
Ответ: $200$ рублей.
Задание со звёздочкой. Периметр треугольника равен $48$ см. Его стороны относятся как $3 : 4 : 5$. Чему равна длина самой длинной стороны?
Шаг 1. Общее число долей: $3 + 4 + 5 = 12$.
Шаг 2. Одна доля равна: $48 : 12 = 4$ см.
Шаг 3. Самая длинная сторона соответствует числу $5$: $4 \cdot 5 = 20$ см.
Ответ: $20$ см.
Заключение
Отношение показывает пропорцию между величинами, а деление в заданном отношении помогает распределять общую величину по заданным частям. Чтобы решить такую задачу, нужно найти сумму долей, вычислить одну долю и умножить её на каждый член отношения. Главная проверка — сложить полученные части и сравнить сумму с исходным числом. Этот навык пригодится в задачах по арифметике, геометрии и практико-ориентированных заданиях по математике. Чтобы закрепить тему, порешай аналогичные прототипы в «100балльном банке».
Автор статьи
