Прямая и обратная пропорциональность — базовая тема 7 класса, которая помогает решать текстовые задачи и понимать графики функций. Она встречается в школьной программе по математике, где нужно связать величины по смыслу, а затем составить пропорцию. Ошибки обычно появляются, когда одну и ту же схему применяют к разным ситуациям: например, считают, что если рабочих стало больше, то времени на работу тоже станет больше. Разберём, как отличать прямую зависимость от обратной и решать задачи без нелогичных ответов.

Как распознать зависимость

Пропорция — это равенство двух отношений. Но величины могут быть связаны по-разному, поэтому перед вычислениями нужно понять смысл задачи.

Не любые две меняющиеся величины образуют пропорцию. Например, возраст человека и его рост связаны в жизни, но рост не увеличивается строго во столько же раз, во сколько увеличивается возраст. Поэтому такие данные нельзя считать пропорциональными.

Прямая пропорциональность

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз (и наоборот — при уменьшении одной вторая тоже уменьшается).

Пример: если купить в три раза больше тетрадей по одной цене, то заплатить придётся в три раза больше.

У прямо пропорциональных величин отношение всегда остаётся постоянным.

В алгебре прямая пропорциональность задаётся формулой: $y = k x$ , где $x$ — независимая переменная, $k$ — коэффициент прямой пропорциональности, $k \neq 0$ .

График такой функции — прямая линия, которая проходит через начало координат.

Если $k > 0$ , график лежит в I и III координатных четвертях.

График прямой пропорциональности в I и III четвертях проходит через начало координат.

Если $k < 0$ , график лежит во II и IV четвертях.

График прямой пропорциональности во II и IV четвертях проходит через начало координат.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Обратная пропорциональность

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз и наоборот — при уменьшении одной вторая увеличивается.

Пример: если путь один и тот же, то при увеличении скорости машины в два раза время в дороге уменьшится в два раза.

У обратно пропорциональных величин произведение всегда остаётся постоянным.

Универсальный алгоритм решения

Для текстовых задач удобно использовать метод стрелочек.

Обозначь неизвестную величину буквой $x$ .
Составь краткую запись: одноимённые величины должны стоять в одном столбце. Килограммы записываем под килограммами, часы — под часами.
Определи тип зависимости по смыслу задачи.
Расставь стрелки рядом со столбцами:
- для прямой зависимости стрелки направлены одинаково;
- для обратной зависимости стрелки направлены в разные стороны.
Запиши пропорцию:
- если стрелки направлены одинаково, дроби записываем без переворота;
- если стрелки направлены в разные стороны, одну дробь нужно перевернуть.
Реши уравнение по основному свойству пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

Задача на прямую зависимость

Условие

Из 20 килограммов свежих слив получается 6 килограммов чернослива. Сколько килограммов свежих слив нужно взять, чтобы получить 15 килограммов чернослива?

Шаг 1. Обозначим неизвестную величину.

Пусть $x$ килограммов — нужное количество свежих слив.

Шаг 2. Составим краткую запись:
20 кг свежих слив — 6 кг чернослива
$↑$ $x$ кг свежих слив — 15 кг чернослива $↑$

Шаг 3. Определим зависимость.

Чем больше чернослива нужно получить, тем больше свежих слив придётся взять. Это прямая зависимость.

Шаг 4. Составим пропорцию без переворота дроби:

$\frac{20}{x} = \frac{6}{15}$ .

Шаг 5. Решим уравнение:
$6 x = 20 \cdot 15$ ,
$6 x = 300$ ,
$x = 50$ .

Ответ: потребуется 50 килограммов свежих слив.

Задача на обратную зависимость

Условие

Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 12 дней. За сколько дней выполнит то же самое задание бригада из 6 рабочих, если все работают с одинаковой производительностью?

Шаг 1. Обозначим неизвестную величину.

Пусть $x$ дней — время работы для 6 рабочих.

Шаг 2. Составим краткую запись:
$↕$ 8 рабочих — 12 дней $↑$
6 рабочих — $x$ дней

Шаг 3. Определим зависимость.

Рабочих стало меньше, значит, ту же работу они будут выполнять дольше. Это обратная пропорциональность.

Шаг 4. Составим пропорцию с переворотом одной дроби: $\frac{8}{6} = \frac{x}{12}$ .

Шаг 5. Решим уравнение:
$6 x = 8 \cdot 12$ ,
$6 x = 96$ ,
$x = 16$ .

Ответ: 6 рабочих справятся за 16 дней.

Алгебраическая задача с коэффициентом

Условие

Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку $A (4; - 12)$ . Задайте эту функцию формулой. Проходит ли этот график через точку $B(-2; 6)$?

Шаг 1. Вспомним формулу прямой пропорциональности: $y = k x$ .

Шаг 2. Подставим координаты точки $A$ .

У точки $A$ координаты $x = 4$ , $y = - 12$ :
$- 12 = k \cdot 4$ ,
$k = \frac{- 12}{4}$ ,
$k = - 3$ .

Шаг 3. Запишем формулу функции: $y = - 3 x$ .

Шаг 4. Проверим точку $B(-2; 6)$.

Подставим $x = - 2$ в формулу: $y = - 3 \cdot (- 2) = 6$ .

Полученное значение совпало с координатой $y$ точки $B$ , значит, график проходит через эту точку.

Ответ: формула функции — $y = - 3 x$ ; график проходит через точку $B$ .

Типичные ошибки

Даже при правильном понимании темы можно ошибиться в записи или вычислениях. Проверь самые частые ловушки.

Считать любую зависимость прямой. Нельзя сразу записывать дроби для любой текстовой задачи. Сначала спроси себя: если первая величина увеличится, вторая увеличится или уменьшится?
Путать столбцы в краткой записи. Часы должны стоять под часами, километры — под километрами, люди — под людьми. Если перепутать столбцы, пропорция получится неверной.
Забывать перевернуть дробь при обратной зависимости. Если стрелки направлены в разные стороны, одну дробь нужно перевернуть. Иначе ответ будет противоречить смыслу задачи.
Составлять пропорцию там, где её нет. Если величины меняются хаотично или одна величина вообще не зависит от другой, пропорциональной зависимости нет.

Самостоятельная проверка знаний

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Автомобиль едет из одного города в другой по одному и тому же пути. Как зависят друг от друга скорость автомобиля и время, затраченное на дорогу?

Задание 2. За 4 часа станок изготавливает 32 детали. Это прямая или обратная зависимость?

Ответ к заданию 1. Обратная зависимость: чем больше скорость, тем меньше время в пути.

Ответ к заданию 2. Прямая зависимость: чем больше часов работает станок, тем больше деталей он изготовит.

Задание посложнее для самопроверки

Условие

Пять труб одинаковой мощности заполняют бассейн за 12 часов. За какое время заполнят этот же бассейн три такие трубы?

Шаг 1. Чем меньше труб, тем дольше будет наполняться бассейн. Зависимость обратная. Обозначим искомое время за $x$ .

Шаг 2. Составим пропорцию с переворотом дроби: $\frac{5}{3} = \frac{x}{12}$ .

Шаг 3. Решим уравнение:
$3 x = 5 \cdot 12$ ,
$3 x = 60$ ,
$x = 20$ .

Ответ: потребуется 20 часов.

Заключение

Теперь ты понимаешь разницу между прямой и обратной зависимостью и знаешь, что не любые меняющиеся величины образуют пропорцию. Ты умеешь определять тип связи по условию, составлять краткую запись и решать уравнения методом пропорции, не попадаясь в типичные ловушки. Чтобы закрепить тему перед контрольной, реши несколько похожих задач в «100балльном банке».