Степень с целым показателем: теория и примеры для 8 класса

Сначала вспомним степень с натуральным показателем. Запись $a^n$ означает, что число $a$ умножается само на себя $n$ раз: $a^n=\underset{n\text{раз}}{\underbrace{a·a·\dots ·a}}$.

Целые показатели включают натуральные числа, нуль и целые отрицательные числа. Значит, нужно понять два новых случая: показатель $0$ и показатель меньше нуля.

Например:

$7^0=1$,
$(-12{)}^0=1$,
${\left(\frac{3}{5}\right)}^0=1$.

Запись $0^0$ не имеет смысла в школьном курсе: её считают неопределённой. Поэтому в задачах по этой теме нулевое основание с нулевым показателем не используют.

Например: $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$.

Запись $0^{-n}$ не имеет смысла, потому что она приводит к делению на нуль: $0^{-n}=\frac{1}{0^n}$.

А делить на нуль нельзя.

С дробями правило работает особенно удобно: дробь нужно перевернуть, а показатель сделать положительным.

если $a\ne 0$ и $b\ne 0$.

Например: ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$.

Все свойства степеней, которые работают для натуральных показателей, сохраняются и для целых показателей. Пусть $a\ne 0$, $b\ne 0$, а $m$ и $n$ — целые числа.

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^m·a^n=a^{m+n}$.
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $a^m:a^n=a^{m-n}$.
3. При возведении степени в степень показатели умножаются: $(a^m{)}^n=a^{m·n}$.
4. Степень произведения равна произведению степеней: $(ab{)}^n=a^n·b^n$.
5. Степень частного равна частному степеней: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Чтобы не путаться в вычислениях, удобно действовать по шагам.

1. Найди основания с отрицательными показателями.
2. Сначала примени свойства степеней: сложение, вычитание или умножение показателей.
3. Если отрицательные показатели остались, избавься от них: целое основание перенеси в знаменатель, дробь переверни.
4. Выполни обычное возведение в степень.
5. Проверь знак результата, особенно если основание отрицательное и стоит в скобках.

Разберём типичные задания из курса 8 класса.

Вычисление числовых выражений

Условие

Вычисли значения выражений: $3^{-2}$ и $(-2{)}^{-3}$.

Возведение дроби в отрицательную степень

Условие

Найди значение выражения: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}$.

Упрощение выражений с переменными

Условие

Упрости выражение: $\frac{x^{-2}·x^5}{x^{-3}}$, где $x\ne 0$.

В заданиях со степенями чаще всего ошибаются из-за знаков, скобок и нуля в основании.

Считать, что отрицательный показатель делает число отрицательным

Неверно: $5^{-2}=-25$.

Отрицательный показатель не меняет знак числа. Он показывает, что нужно перейти к обратному числу: $5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$.

Вычислять нуль в отрицательной степени

Запись $0^{-5}$ не имеет смысла: $0^{-5}=\frac{1}{0^5}$.

В знаменателе получается нуль, а деление на нуль запрещено.

Забывать, что показатель относится ко всем множителям в скобках

Если дано выражение $(2x{)}^{-3}$, отрицательный показатель относится ко всему произведению: $(2x{)}^{-3}=\frac{1}{(2x{)}^3}$.

Теперь возводим в куб и число, и переменную: $(2x{)}^3=2^3{x}^3=8x^3$.

Значит: $(2x{)}^{-3}=\frac{1}{8x^3}$.

Неверный ответ: $\frac{1}{2x^3}$.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Упрости выражение: $y^{-4}·y^7$.

Задание 2. Вычисли значение: $4^{-3}$.

Задание 3. Упрости выражение: $\frac{a^{-5}}{a^{-8}}$, где $a\ne 0$.

Задание повышенной сложности

Условие

Вычисли: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}$.

Теперь ты знаешь, как работать со степенью с целым показателем и применять эту тему в заданиях по математике. Ненулевое число в нулевой степени равно единице, а отрицательный показатель переводит основание в знаменатель дроби. При работе с дробями нужно поменять числитель и знаменатель местами, затем возвести дробь в положительную степень. Чтобы не терять баллы на экзамене, проверяй ограничения на нуль, следи за скобками и аккуратно выполняй действия с отрицательными показателями. Для закрепления темы рекомендуем порешать задания в «100балльном банке».