Квадратный корень: объяснение, алгоритм и примеры для 8 класса

Квадратный корень связан с возведением числа во вторую степень.

Например, квадратный корень из $9$ — это число $3$, потому что $3^2=9$. При этом число $-3$ тоже подходит: $(-3{)}^2=9$. Нахождение таких значений называется извлечением корня.

Для правильного решения заданий важно помнить определение арифметического квадратного корня.

Знак $\sqrt{}$ называется радикалом. Выражение, которое находится под этим знаком, называют подкоренным выражением.

Главное правило: выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл только при $a\ge 0$. Любое действительное число при умножении само на себя даёт положительное число или ноль. Поэтому среди действительных чисел нет такого значения, квадрат которого равен отрицательному числу.

Например:

• $\sqrt{25}=5$;
• $\sqrt{0}=0$;
• $\sqrt{-25}$ не имеет смысла в курсе действительных чисел.

Чтобы решать базовые примеры без лишних сомнений, используй такой порядок действий:

1. Проверь подкоренное выражение: оно должно быть больше нуля или равно нулю.
2. Подбери неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даёт подкоренное выражение.
3. Запиши ответ.
4. Проверь результат: возведи найденное число в квадрат.
5. Если перед радикалом есть знак или множитель, примени его после извлечения корня.

Разберём три типичных задания за 8 класс: вычисление выражения, решение уравнения вида $x^2=a$ и уравнение с радикалом.

Вычисление простого выражения

Условие

Вычисли значение выражения $\sqrt{49}+\sqrt{16}$.

Решение уравнения вида $x^2=a$

Условие

Реши уравнение $x^2=36$.

Уравнение с корнем

Условие

Найди корень уравнения $\sqrt{6x-57}=9$.

Даже в простых заданиях с корнями легко потерять баллы. Чаще всего ошибки связаны с тем, что арифметический корень путают с решением квадратного уравнения.

Ошибка с двумя ответами при прямом извлечении корня

Неверно: $\sqrt{25}=\pm 5$.

Верно: $\sqrt{25}=5$.

Если в выражении уже стоит знак $\sqrt{}$, нужно записывать арифметический квадратный корень. Он всегда неотрицательный. Знак $\pm$ появляется при решении уравнений вида $x^2=25$.

Ошибка с минусом под радикалом

Неверно: $\sqrt{-16}=-4$.

Верно: $\sqrt{-16}$ не имеет смысла в курсе действительных чисел.

Нет действительного числа, которое при возведении в квадрат даст отрицательное значение. Минус на минус даёт плюс.

Потеря одного корня уравнения

Неверно: $x^2=100$, значит, $x=10$.

Верно: $x^2=100$, значит, $x_1=10$, $x_2=-10$.

При возведении во вторую степень отрицательные числа тоже дают положительный результат. Поэтому уравнение вида $x^2=a$ при $a>0$ имеет два противоположных корня.

Реши несколько задач самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найди значение выражения $\sqrt{64}-\sqrt{9}$.

Задание 2. Вычисли произведение $\sqrt{36}·\sqrt{0}$.

Задание 3. Найди все корни уравнения $x^2=49$.

Задание посложнее

Условие

Найди неизвестное в уравнении $\sqrt{3x+1}=4$.

Теперь ты умеешь извлекать квадратные корни, решать уравнения вида $x^2=a$ и уравнения с радикалом. Ты знаешь, как не попасть в ловушку с отрицательными числами и почему важно делать проверку. Эти навыки помогут тебе уверенно справляться с заданиями на контрольных по математике. Чтобы закрепить тему перед контрольной, реши несколько похожих задач в «100балльном банке».