Свойства квадратных корней: теория и примеры для 8 класса

В школьном курсе запись $\sqrt{a}$ имеет смысл при условии: $a\ge 0.$

Например: $\sqrt{25}=5,$ потому что $5^2=25$ и число $5$ неотрицательное.

Корень из произведения

Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство: $\sqrt{a·b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}.$

Если под корнем стоит произведение, можно извлечь корень из каждого множителя отдельно.

Например: $\sqrt{9·16}=\sqrt{9}·\sqrt{16}=3·4=12.$

Это свойство удобно применять и в обратную сторону: $\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{a·b}.$

Корень из дроби

Для любых чисел $a\ge 0$ и $b>0$ верно равенство: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

Корень из дроби можно представить как дробь из двух корней: отдельно из числителя и отдельно из знаменателя.

Например: $\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}.$

Корень из квадрата

Для любого действительного числа $a$ выполняется равенство: $\sqrt{a^2}=|a|.$

Модуль нужен потому, что арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

Например: $\sqrt{7^2}=|7|=7$ и $\sqrt{(-7{)}^2}=|-7|=7.$

Если написать $\sqrt{x^2}=x$, можно получить ошибку при отрицательных значениях $x$. Правильная запись: $\sqrt{x^2}=|x|.$

Чтобы не путаться в свойствах, действуй по шагам:

1. Определи действие внутри корня.
2. Если под корнем сумма или разность, сначала упрости выражение под корнем. Разбивать на отдельные части нельзя.
3. Если под корнем произведение или дробь, примени соответствующее свойство.
4. Извлеки корни из полных квадратов.
5. Если под корнем стоит квадрат выражения, не забывай про модуль.
6. Запиши ответ и проверь, что значение корня неотрицательное.

Условие

Вычисли: $\sqrt{64·25}.$

Условие

Вычисли: $\sqrt{\frac{36}{49}}.$

Пример на применение свойства в обратную сторону

Условие

Вычисли: $\sqrt{2}·\sqrt{18}.$

Ошибка с корнем из суммы

Нельзя записывать так: $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Такого свойства у квадратных корней нет.

Правильно сначала выполнить действие под корнем: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$

Если ошибочно разложить, получится: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7.$

Это неверный результат.

Ошибка с корнем из разности

Корень из разности тоже нельзя разбивать: $\sqrt{a-b}\ne \sqrt{a}-\sqrt{b}.$

Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а уже потом его извлекать.

Например: $\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$

Нельзя делать так: $\sqrt{25-9}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2.$

Ошибка с модулем

Частая ошибка: $\sqrt{x^2}=x.$

Правильно: $\sqrt{x^2}=|x|.$

Модуль можно убрать только тогда, когда точно известно, что $x\ge 0$.

Например, если $x=-4$, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4.$

А выражение $x$ при этом равно $-4$. Поэтому запись $\sqrt{x^2}=x$ в общем случае неверна.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задания

Задание 1. Найди значение выражения: $\sqrt{4·81}.$

Задание 2. Вычисли: $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}.$

Задание 3. Найди значение выражения: $\sqrt{{13}^2-{12}^2}.$

Теперь ты умеешь применять свойства квадратных корней для упрощения выражений и вычислений. Ты знаешь, как работать с корнем из произведения и дроби, и не попадёшься в ловушку с корнем из суммы или разности. Правила в статье помогут решать задания с корнями в 8 классе и на контрольных по математике. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».