Преобразование выражений и тождества: теория для 7 класса

Алгебраические выражения подчиняются тем же законам, что и обычные числа. Если ты умеешь складывать, умножать и раскрывать скобки с числами, те же действия можно выполнять и с буквами.

Тождество

Пример тождества: $x+y=y+x$.

Если вместо $x$ и $y$ подставить любые числа, левая и правая части всё равно будут равны. Это работает из-за переместительного свойства сложения.

Область допустимых значений

Область допустимых значений переменной, или ОДЗ, — это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

В 7 классе чаще всего рассматривают целые выражения: в них нет деления на выражение с переменной. Такие выражения имеют смысл при любых числовых значениях букв.

Например, выражение $3x+5$ можно вычислить при любом $x$.

Если появляется деление на переменную или выражение с переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю. Делить на нуль нельзя.

Например, выражение $\frac{1}{x}$ имеет смысл при всех $x$, кроме $x=0$.

Свойства, которые нужны для преобразований

В основе преобразований лежат три свойства.

• Переместительное свойство сложения и умножения. От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется: $a+b=b+a$, $a·b=b·a$.
• Сочетательное свойство сложения и умножения. Слагаемые или множители можно группировать по-разному: $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a·b)·c=a·(b·c)$.
• Распределительное свойство умножения. Множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри скобки: $a(b+c)=ab+ac$, $a·(b-c)=ab-ac$.

Правило: если перед скобкой стоит знак минус, при раскрытии знак каждого слагаемого меняется на противоположный, потому что $-(b+c)=(-1)(b+c)=-b-c$.

Это свойство помогает раскрывать скобки и выносить общий множитель.

Чтобы доказать равенство, нужно показать, что левая и правая части совпадают при любых допустимых значениях переменных.

Удобный порядок действий:

1. Выбери часть равенства, которая выглядит сложнее.
2. Раскрой скобки по распределительному свойству.
3. Найди подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью.
4. Сложи или вычти коэффициенты при подобных слагаемых.
5. Сравни полученный результат с другой частью равенства.

Есть и другой способ: можно вычесть из левой части правую. Если после преобразований получится $0$, значит, равенство является тождеством.

Например, чтобы доказать $A=B$, можно проверить, что $A-B=0$.

Упрощение буквенного выражения

Условие
Упрости выражение: $5x+3x-2x$.

Доказательство равенства через упрощение одной части

Условие
Докажи, что равенство является тождеством: $2(x+3)-2x=6$.

Доказательство равенства методом вычитания

Условие
Докажи тождество: $3(a+b)-3a=3b$.

Ошибки в этой теме чаще всего связаны со знаками, скобками и подобными слагаемыми.

Выполни задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Упрости выражение: $10a-4a+2a$.

Задание 2. Докажи равенство: $5(y-1)+5=5y$.

Задание 3. Докажи равенство: $2(a+3b)-(2a-b)=7b$.

Теперь ты умеешь упрощать буквенные выражения, приводить подобные слагаемые и доказывать тождества разными способами — через преобразование одной из частей или метод вычитания.

Главное в этой теме — внимательно работать со знаками. Если перед скобкой стоит минус, знаки меняются у всех слагаемых внутри. Этот навык понадобится при решении уравнений, преобразовании формул и выполнении заданий экзамена по математике. Чтобы закрепить тему, порешай задания в «100балльном банке».