Умножение многочленов нужно для преобразования выражений и решения уравнений. В этой теме чаще всего ошибаются из-за знаков, степеней и пропущенных слагаемых. Разберём правило умножения многочленов, пошаговый алгоритм и несколько примеров с подробным решением. После статьи ты сможешь аккуратно раскрывать скобки и приводить многочлены к стандартному виду.
Основная теория
Многочлен — это сумма нескольких одночленов. Когда мы умножаем один многочлен на другой, в результате снова получается многочлен.
Главное правило такое.
Если записать это правило формулой, получится: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.$
После раскрытия скобок результат нужно упростить: найти подобные слагаемые и привести их. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть. Например, $5x$ и $2x$ — подобные, а $5x$ и $5x^2$ — нет.
После приведения подобных слагаемых многочлен записывают в стандартном виде.
Ещё одно полезное свойство связано со степенями. При умножении одночленов с одинаковым основанием показатели степеней складываются: $m^2 \cdot m^3 = m^5.$
Поэтому при умножении многочлена второй степени на многочлен первой степени обычно получается многочлен третьей степени.
Алгоритм умножения многочленов
Чтобы не пропустить ни одного произведения, удобно действовать по порядку.
- Определи количество членов в первой и второй скобках. Так можно понять, сколько произведений получится до упрощения.
- Возьми первое слагаемое из первой скобки и умножь его на каждый член второй скобки.
- Возьми второе слагаемое из первой скобки и повтори то же действие.
- Если в первой скобке есть ещё слагаемые, продолжай по тому же правилу.
- Выпиши все полученные произведения в одну строку.
- Найди подобные слагаемые и приведи их.
- Запиши итоговый многочлен в стандартном виде.
При работе со знаками держи минус вместе с тем слагаемым, перед которым он стоит. Например, в выражении $(2a-3b)$ второй член — это $-3b$, а не просто $3b$.
Правила знаков:
- плюс на плюс даёт плюс;
- минус на минус даёт плюс;
- минус на плюс даёт минус;
- плюс на минус даёт минус.
Примеры с решением
Разберём три задания: от простого раскрытия скобок до умножения двучлена на трёхчлен.
Базовое раскрытие скобок
Условие
Выполни умножение: $(x + 2)(x + 5)$.
Шаг 1. Умножаем $x$ из первой скобки на каждый член второй скобки:
$x \cdot x = x^2,$
$x \cdot 5 = 5x.$
Шаг 2. Умножаем $2$ на каждый член второй скобки:
$2 \cdot x = 2x,$
$2 \cdot 5 = 10.$
Шаг 3. Записываем промежуточный результат: $x^2 + 5x + 2x + 10.$
Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $5x + 2x = 7x.$
Получаем: $x^2 + 7x + 10.$
В этом примере все знаки положительные, поэтому главное — не забыть перемножить каждое слагаемое первой скобки с каждым слагаемым второй.
Ответ: $x^2 + 7x + 10$.
Работа со знаками и коэффициентами
Условие
Упрости выражение: $(2a-3b)(5a + 4b)$.
Шаг 1. Умножаем $2a$ на каждый член второй скобки:
$2a \cdot 5a = 10a^2,$
$2a \cdot 4b = 8ab.$
Шаг 2. Переходим к члену $-3b$. Минус обязательно учитываем:
$-3b \cdot 5a = -15ab,$
$-3b \cdot 4b = -12b^2.$
Шаг 3. Записываем все произведения: $10a^2 + 8ab-15ab-12b^2.$
Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $8ab-15ab=-7ab.$
Получаем: $10a^2-7ab-12b^2.$
Здесь важно следить за знаком перед $-3b$. Если потерять минус, изменятся сразу два слагаемых.
Ответ: $10a^2-7ab-12b^2$.
Двучлен и трёхчлен
Условие
Выполни умножение: $(y-4)(y^2 + 3y-2)$.
Шаг 1. Умножаем $y$ на каждый член второй скобки:
$y \cdot y^2 = y^3,$
$y \cdot 3y = 3y^2,$
$y \cdot (-2) = -2y.$
Шаг 2. Умножаем $-4$ на каждый член второй скобки:
$-4 \cdot y^2 = -4y^2,$
$-4 \cdot 3y = -12y,$
$-4 \cdot (-2) = 8.$
Шаг 3. Собираем все слагаемые в одну строку: $y^3 + 3y^2-2y-4y^2-12y + 8.$
Шаг 4. Группируем подобные слагаемые.
Квадраты: $3y^2-4y^2=-y^2.$
Первые степени: $-2y-12y=-14y.$
Получаем: $y^3-y^2-14y + 8.$
В этом примере произведений больше, но правило остаётся тем же: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй.
Ответ: $y^3-y^2-14y + 8$.
Типичные ошибки и как их избежать
Перемножают только первые и только вторые члены
Неверно: $(x + 3)(y + 4) = xy + 12.$
Так пропущены два произведения: $x \cdot 4$ и $3 \cdot y$.
Правильно: $(x + 3)(y + 4) = xy + 4x + 3y + 12.$
Перед упрощением должно получиться четыре слагаемых, потому что в каждой скобке по два члена.
Потеря знака минус
Неверно: $-2a \cdot (-3a)=-6a^2.$
Правильно: $-2a \cdot (-3a) = 6a^2.$
Два минуса при умножении дают плюс.
Путаница со степенями
Неверно: $m^2 \cdot m^3 = m^6.$
Правильно: $m^2 \cdot m^3 = m^5.$
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $2 + 3 = 5.$
Самопроверка
Реши задания на черновике, а затем сверь ответы.
Задание 1. Умножь выражения: $(x + 1)(x + 4)$.
Задание 2. Выполни действие: $(2y-1)(y-3)$.
Задание 3. Упрости: $(m + 5)(m^2-m + 2)$.
Ответ к заданию 1. $x^2 + 5x + 4$.
Ответ к заданию 2. $2y^2-7y + 3$.
Обрати внимание на $+3$ в конце: $-1 \cdot (-3) = 3$.
Ответ к заданию 3. $m^3 + 4m^2-3m + 10$.
Пояснение к третьему заданию: $(m + 5)(m^2-m + 2) = m^3-m^2 + 2m + 5m^2-5m + 10.$
Приводим подобные слагаемые:
$-m^2 + 5m^2 = 4m^2,$
$2m — 5m = -3m.$
Получаем: $m^3 + 4m^2-3m + 10.$
Заключение
Умножение многочленов строится на одном правиле: каждый член первой скобки нужно умножить на каждый член второй. Знаки всегда относятся к своим слагаемым, поэтому минус нельзя отделять от числа или переменной. После раскрытия скобок решение не закончено: нужно найти подобные слагаемые и привести многочлен к стандартному виду.
Теперь ты умеешь раскрывать произведение двух многочленов, работать с коэффициентами и степенями, проверять количество полученных произведений. Чтобы закрепить тему перед контрольной, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».
