Умножение многочленов: теория, алгоритм и примеры для 7 класса

1.2К 126 ~7 мин

Обновлено 09.08.2026

Средняя школа

7 класс

Дарья Максимова

Методист «100балльного репетитора» по математике

Умножение многочленов нужно для преобразования выражений и решения уравнений. В этой теме чаще всего ошибаются из-за знаков, степеней и пропущенных слагаемых. Разберём правило умножения многочленов, пошаговый алгоритм и несколько примеров с подробным решением. После статьи ты сможешь аккуратно раскрывать скобки и приводить многочлены к стандартному виду.

Основная теория

Многочлен — это сумма нескольких одночленов. Когда мы умножаем один многочлен на другой, в результате снова получается многочлен.

Главное правило такое.

Если записать это правило формулой, получится: $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d .$

После раскрытия скобок результат нужно упростить: найти подобные слагаемые и привести их. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть. Например, $5 x$ и $2 x$ — подобные, а $5 x$ и $5 x^{2}$ — нет.

После приведения подобных слагаемых многочлен записывают в стандартном виде.

Ещё одно полезное свойство связано со степенями. При умножении одночленов с одинаковым основанием показатели степеней складываются: $m^{2} \cdot m^{3} = m^{5} .$

Поэтому при умножении многочлена второй степени на многочлен первой степени обычно получается многочлен третьей степени.

Алгоритм умножения многочленов

Чтобы не пропустить ни одного произведения, удобно действовать по порядку.

Определи количество членов в первой и второй скобках. Так можно понять, сколько произведений получится до упрощения.
Возьми первое слагаемое из первой скобки и умножь его на каждый член второй скобки.
Возьми второе слагаемое из первой скобки и повтори то же действие.
Если в первой скобке есть ещё слагаемые, продолжай по тому же правилу.
Выпиши все полученные произведения в одну строку.
Найди подобные слагаемые и приведи их.
Запиши итоговый многочлен в стандартном виде.

При работе со знаками держи минус вместе с тем слагаемым, перед которым он стоит. Например, в выражении $(2 a - 3 b)$ второй член — это $- 3 b$ , а не просто $3 b$ .

Правила знаков:

плюс на плюс даёт плюс;
минус на минус даёт плюс;
минус на плюс даёт минус;
плюс на минус даёт минус.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Примеры с решением

Разберём три задания: от простого раскрытия скобок до умножения двучлена на трёхчлен.

Базовое раскрытие скобок

Условие

Выполни умножение: $(x + 2) (x + 5)$ .

Шаг 1. Умножаем $x$ из первой скобки на каждый член второй скобки:
$x \cdot x = x^{2},$
$x \cdot 5 = 5 x .$

Шаг 2. Умножаем $2$ на каждый член второй скобки:
$2 \cdot x = 2 x,$
$2 \cdot 5 = 10 .$

Шаг 3. Записываем промежуточный результат: $x^{2} + 5 x + 2 x + 10 .$

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $5 x + 2 x = 7 x .$

Получаем: $x^{2} + 7 x + 10 .$

В этом примере все знаки положительные, поэтому главное — не забыть перемножить каждое слагаемое первой скобки с каждым слагаемым второй.

Ответ: $x^{2} + 7 x + 10$ .

Работа со знаками и коэффициентами

Условие

Упрости выражение: $(2 a - 3 b) (5 a + 4 b)$ .

Шаг 1. Умножаем $2 a$ на каждый член второй скобки:
$2 a \cdot 5 a = 10 a^{2},$
$2 a \cdot 4 b = 8 a b .$

Шаг 2. Переходим к члену $- 3 b$ . Минус обязательно учитываем:
$- 3 b \cdot 5 a = - 15 a b,$
$- 3 b \cdot 4 b = - 12 b^{2} .$

Шаг 3. Записываем все произведения: $10 a^{2} + 8 a b - 15 a b - 12 b^{2} .$

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $8 a b - 15 a b = - 7 a b .$

Получаем: $10 a^{2} - 7 a b - 12 b^{2} .$

Здесь важно следить за знаком перед $- 3 b$ . Если потерять минус, изменятся сразу два слагаемых.

Ответ: $10 a^{2} - 7 a b - 12 b^{2}$ .

Двучлен и трёхчлен

Условие

Выполни умножение: $(y - 4) (y^{2} + 3 y - 2)$ .

Шаг 1. Умножаем $y$ на каждый член второй скобки:
$y \cdot y^{2} = y^{3},$
$y \cdot 3 y = 3 y^{2},$
$y \cdot (- 2) = - 2 y .$

Шаг 2. Умножаем $- 4$ на каждый член второй скобки:
$- 4 \cdot y^{2} = - 4 y^{2},$
$- 4 \cdot 3 y = - 12 y,$
$- 4 \cdot (- 2) = 8 .$

Шаг 3. Собираем все слагаемые в одну строку: $y^{3} + 3 y^{2} - 2 y - 4 y^{2} - 12 y + 8 .$

Шаг 4. Группируем подобные слагаемые.

Квадраты: $3 y^{2} - 4 y^{2} = - y^{2} .$

Первые степени: $- 2 y - 12 y = - 14 y .$

Получаем: $y^{3} - y^{2} - 14 y + 8 .$

В этом примере произведений больше, но правило остаётся тем же: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй.

Ответ: $y^{3} - y^{2} - 14 y + 8$ .

Типичные ошибки и как их избежать

Перемножают только первые и только вторые члены

Неверно: $(x + 3) (y + 4) = x y + 12 .$

Так пропущены два произведения: $x \cdot 4$ и $3 \cdot y$ .

Правильно: $(x + 3) (y + 4) = x y + 4 x + 3 y + 12 .$

Перед упрощением должно получиться четыре слагаемых, потому что в каждой скобке по два члена.

Потеря знака минус

Неверно: $- 2 a \cdot (- 3 a) = - 6 a^{2} .$

Правильно: $- 2 a \cdot (- 3 a) = 6 a^{2} .$

Два минуса при умножении дают плюс.

Путаница со степенями

Неверно: $m^{2} \cdot m^{3} = m^{6} .$

Правильно: $m^{2} \cdot m^{3} = m^{5} .$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $2 + 3 = 5 .$

Самопроверка

Реши задания на черновике, а затем сверь ответы.

Задание 1. Умножь выражения: $(x + 1) (x + 4)$ .

Задание 2. Выполни действие: $(2 y - 1) (y - 3)$ .

Задание 3. Упрости: $(m + 5) (m^{2} - m + 2)$ .

Ответ к заданию 1. $x^{2} + 5 x + 4$ .

Ответ к заданию 2. $2 y^{2} - 7 y + 3$ .

Обрати внимание на $+ 3$ в конце: $- 1 \cdot (- 3) = 3$ .

Ответ к заданию 3. $m^{3} + 4 m^{2} - 3 m + 10$ .

Пояснение к третьему заданию: $(m + 5) (m^{2} - m + 2) = m^{3} - m^{2} + 2 m + 5 m^{2} - 5 m + 10 .$

Приводим подобные слагаемые:
$- m^{2} + 5 m^{2} = 4 m^{2},$
$2 m — 5 m = - 3 m .$

Получаем: $m^{3} + 4 m^{2} - 3 m + 10 .$

Заключение

Умножение многочленов строится на одном правиле: каждый член первой скобки нужно умножить на каждый член второй. Знаки всегда относятся к своим слагаемым, поэтому минус нельзя отделять от числа или переменной. После раскрытия скобок решение не закончено: нужно найти подобные слагаемые и привести многочлен к стандартному виду.

Теперь ты умеешь раскрывать произведение двух многочленов, работать с коэффициентами и степенями, проверять количество полученных произведений. Чтобы закрепить тему перед контрольной, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».