Алгебраическая дробь: теория и разбор задач для 8 класса

1.9К 187 ~8 мин

Обновлено 10.08.2026

Средняя школа

8 класс

Дарья Максимова

Методист «100балльного репетитора» по математике

Алгебраические дроби изучают в 8 классе, а затем используют в заданиях по математике: при преобразовании выражений, решении уравнений и работе с ограничениями. Трудности обычно возникают из-за букв в числителе и знаменателе, но правила остаются теми же, что и для обычных дробей. Главное — следить за знаменателем, находить область допустимых значений и сокращать только множители. Разберём теорию, типовые примеры и ошибки, из-за которых чаще всего теряются баллы.

Основная теория

Понятие алгебраической дроби

Многочлен $P$ называют числителем дроби, а многочлен $Q$ — знаменателем. Черта дроби означает деление.

Обычная дробь $\frac{3}{5}$ состоит только из чисел. Алгебраическая дробь содержит переменные, например $\frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ .

Ограничения и область допустимых значений

В математике нельзя делить на нуль. Поэтому знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю.

Значения переменных, при которых знаменатель не обращается в нуль, называют допустимыми значениями. Все такие значения образуют область допустимых значений, или ОДЗ.

Чтобы найти ОДЗ, нужно приравнять знаменатель к нулю и исключить найденные значения переменной.

Например, для дроби $\frac{1}{x - 4}$ знаменатель равен нулю при $x = 4$ . Значит, $x = 4$ нельзя подставлять в дробь, а все остальные значения допустимы.

Главное правило работы с дробями

Это свойство позволяет сокращать дроби. Чтобы сократить дробь, нужно найти общий множитель в числителе и знаменателе, а затем разделить числитель и знаменатель на этот множитель.

Сокращать можно только множители, то есть выражения, которые перемножаются. Слагаемые внутри суммы сокращать нельзя.

Алгоритм решения заданий

Чтобы не путаться в преобразованиях, удобно действовать по одному плану.

Проверь знаменатель. Выпиши знаменатель отдельно, приравняй его к нулю и реши уравнение. Найденные корни нужно исключить.
Разложи на множители. Разложи числитель и знаменатель. Для этого можно вынести общий множитель за скобки или применить формулы сокращённого умножения.
Сократи общие множители. Найди одинаковые множители в числителе и знаменателе и сократи их.
Запиши результат. Укажи упрощённое выражение и обязательно укажи ограничения.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор задач

Поиск допустимых значений

Условие

Найди область допустимых значений дроби $\frac{x - 3}{x^{2} - 4}$ .

Шаг 1. Нас интересует знаменатель: $x^{2} - 4$ .

Шаг 2. Приравниваем его к нулю: $x^{2} - 4 = 0$ .

Шаг 3. Раскладываем левую часть по формуле разности квадратов: $(x - 2) (x + 2) = 0$ .

Шаг 4. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

Получаем:

$x - 2 = 0$ , значит, $x = 2$ ;

$x + 2 = 0$ , значит, $x = - 2$ .

Шаг 5. Эти значения обращают знаменатель в нуль, поэтому их нужно исключить.

Ответ: допустимы все числа, кроме $2$ и $- 2$ .

Применение формул для сокращения

Условие

Сократи дробь $\frac{4 a^{2} - 9}{2 a + 3}$ .

Шаг 1. Сначала проверяем знаменатель: $2 a + 3 \neq 0$ .

Шаг 2. Находим ограничение: $2 a \neq - 3$ , значит, $a \neq - \frac{3}{2}$ .

Шаг 3. Рассмотрим числитель $4 a^{2} - 9$ . Это разность квадратов, потому что $4 a^{2} = (2 a)^{2}$ , а $9 = 3^{2}$ .

Шаг 4. Раскладываем числитель: $4 a^{2} - 9 = (2 a - 3) (2 a + 3)$ .

Шаг 5. Переписываем дробь: $\frac{(2 a - 3) (2 a + 3)}{2 a + 3}$ .

Шаг 6. Сокращаем общий множитель $(2 a + 3)$ .

Ответ: $2 a - 3$ , при $a \neq - \frac{3}{2}$ .

Вынесение общего множителя

Условие

Упрости выражение $\frac{5 x^{2} - 10 x}{x - 2}$ .

Шаг 1. Проверяем знаменатель: $x - 2 \neq 0$ , значит, $x \neq 2$ .

Шаг 2. Работаем с числителем $5 x^{2} - 10 x$ . Оба слагаемых делятся на $5$ и содержат множитель $x$ .

Шаг 3. Выносим общий множитель $5 x$ за скобки: $5 x^{2} - 10 x = 5 x (x - 2)$ .

Шаг 4. Переписываем дробь: $\frac{5 x (x - 2)}{x - 2}$ .

Шаг 5. Сокращаем общий множитель $(x - 2)$ .

Ответ: $5 x$ , при $x \neq 2$ .

Типичные ошибки

Сокращение слагаемых вместо множителей

В дроби $\frac{x + 5}{x + 7}$ нельзя зачеркнуть $x$ и получить $\frac{5}{7}$ .

Здесь $x$ входит в суммы $x + 5$ и $x + 7$ , а сокращать можно только множители. Чтобы сокращение было возможным, выражение должно быть записано в виде произведения.

Потеря ограничений после сокращения

Иногда сначала сокращают дробь, а ограничения не записывают. Из-за этого можно получить неверный ответ.

Например: $\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} = x + 3$ .

Но исходная дробь не существует при $x = 3$ , поэтому правильная запись результата: $x + 3$ , при $x \neq 3$ .

Потеря знака

При вынесении минуса за скобки знаки внутри скобок меняются.

Например: $3 - y = - (y - 3)$ , тогда $\frac{y - 3}{3 - y} = \frac{y - 3}{- (y - 3)} = - 1$ .

Если забыть поменять знаки, дальнейшее сокращение может стать неверным.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, используя алгоритм из статьи, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найди допустимые значения переменной $y$ для дроби $\frac{7 y}{y - 5}$ .

Задание 2. Сократи дробь $\frac{x^{2} - 25}{x - 5}$ .

Задание 3. Упрости дробь $\frac{3 x^{2} - 12}{3 x - 6}$ .

Решение к заданию 1. Знаменатель $y - 5$ приравниваем к нулю: $y - 5 = 0$ , значит, $y = 5$ .

Допустимы все числа, кроме $5$.

Ответ: $y \neq 5$ .

Решение к заданию 2. Числитель раскладывается по формуле разности квадратов: $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ .

Тогда: $\frac{x^{2} - 25}{x - 5} = \frac{(x - 5) (x + 5)}{x - 5}$ .

Сокращаем общий множитель $(x - 5)$ .

Ответ: $x + 5$ , при $x \neq 5$ .

Решение к заданию 3. В числителе выносим $3$ за скобки: $3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4)$ .

Затем раскладываем разность квадратов: $3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2)$ .

В знаменателе тоже выносим $3$ за скобки: $3 x - 6 = 3 (x - 2)$ .

Получаем: $\frac{3 x^{2} - 12}{3 x - 6} = \frac{3 (x - 2) (x + 2)}{3 (x - 2)}$ .

Сокращаем общий множитель $3$ и общий множитель $(x - 2)$ .

Ответ: $x + 2$ , при $x \neq 2$ .

Заключение

Алгебраическая дробь подчиняется тем же правилам, что и обычная дробь, но вместо чисел в ней стоят многочлены. Теперь ты умеешь находить ограничения, записывать область допустимых значений, раскладывать выражения на множители и сокращать дроби без потери условий. Эти навыки помогают выполнять задания на преобразование выражений и избегать ошибок с делением на нуль. Чтобы закрепить тему, реши несколько заданий на дробно-рациональные выражения в «100балльном банке».

Алгебраическая дробь: теория и разбор задач для 8 класса