Умножение и деление алгебраических дробей встречается в заданиях экзамена по математике и в школьных контрольных по алгебре. Ошибки обычно появляются из-за знаков, степеней и неправильного сокращения. При этом сами правила такие же, как при действиях с обычными дробями.
Что важно знать перед решением
Главное ограничение: знаменатель дроби не должен равняться нулю. Если в задании требуется указать область допустимых значений, нужно отдельно выписать значения переменных, при которых знаменатели обращаются в ноль, и исключить их.
Правило умножения алгебраических дробей
Произведение двух алгебраических дробей равно новой дроби. В её числителе записывают произведение числителей, а в знаменателе — произведение знаменателей: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.
Здесь $a$, $b$, $c$ и $d$ могут обозначать любые многочлены. При этом $b \ne 0$ и $d \ne 0$, потому что делить на ноль нельзя.
Правило деления алгебраических дробей
Делить одну дробь на другую означает умножить первую дробь на перевёрнутую вторую: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$.
Дроби $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$ называют взаимно обратными. При их умножении получается единица, если $x \ne 0$ и $y \ne 0$.
При делении ограничения строже: знаменатель первой дроби, знаменатель второй дроби и числитель второй дроби не должны быть равны нулю.
Алгоритм решения
Чтобы не запутаться в длинных выражениях, действуй по одному порядку:
- Если в примере есть целый многочлен без знаменателя, запиши его как дробь со знаменателем $1$.
- Если перед тобой деление, замени его умножением и переверни вторую дробь.
- Разложи числители и знаменатели на множители. Используй вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращённого умножения.
- Запиши все множители под одну дробную черту.
- Сократи одинаковые множители в числителе и знаменателе.
- Выпиши оставшиеся множители и получи ответ.
Примеры решений
Умножение с формулой сокращённого умножения
Условие
Выполни умножение: $\frac{x^2-y^2}{2xy} \cdot \frac{4x}{x+y}$.
Шаг 1. Деления и целых выражений здесь нет, поэтому сразу раскладываем выражения на множители.
Шаг 2. В числителе первой дроби стоит разность квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x + y)$.
Шаг 3. Записываем произведение под одну дробную черту: $\frac{(x-y)(x + y) \cdot 4x}{2xy \cdot (x + y)}$.
Шаг 4. Сокращаем одинаковые множители. В числителе и знаменателе есть скобка $(x + y)$. Коэффициенты $4$ и $2$ сокращаются на $2$. Переменная $x$ тоже стоит отдельным множителем сверху и снизу, поэтому её можно сократить.
Получаем: $\frac{2(x-y)}{y}$.
Ответ: $\frac{2(x-y)}{y}$.
Деление алгебраических дробей
Условие
Выполни деление: $\frac{a^2-4b^2}{3a} : \frac{a-2b}{6a^2}$.
Шаг 1. Целых многочленов нет.
Шаг 2. Заменяем деление умножением и переворачиваем вторую дробь: $\frac{a^2-4b^2}{3a} \cdot \frac{6a^2}{a-2b}$.
Шаг 3. Раскладываем числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2-4b^2 = (a-2b)(a + 2b)$.
Шаг 4. Записываем всё под одну дробную черту: $\frac{(a-2b)(a + 2b) \cdot 6a^2}{3a \cdot (a-2b)}$.
Шаг 5. Сокращаем общую скобку $(a-2b)$. Коэффициенты $6$ и $3$ сокращаем на $3$. Выражения $a^2$ сверху и $a$ снизу сокращаем на $a$.
Остаётся: $2a(a + 2b)$.
Ответ: $2a(a + 2b)$.
Умножение целого многочлена на дробь
Условие
Выполни действие: $(c + 3) \cdot \frac{5c}{c^2-9}$.
Шаг 1. Выражение $c + 3$ записываем как дробь со знаменателем $1$: $\frac{c + 3}{1} \cdot \frac{5c}{c^2-9}$.
Шаг 2. Деления нет.
Шаг 3. Знаменатель второй дроби раскладываем по формуле разности квадратов: $c^2-9 = (c-3)(c + 3)$.
Шаг 4. Записываем произведение под одну дробную черту: $\frac{(c + 3) \cdot 5c}{1 \cdot (c-3)(c + 3)}$.
Шаг 5. Сокращаем одинаковый множитель $(c + 3)$.
Получаем: $\frac{5c}{c-3}$.
Ответ: $\frac{5c}{c-3}$.
Типичные ошибки
Сокращение слагаемых вместо множителей
Нельзя сокращать отдельные части суммы или разности. Например, в дроби $\frac{x + 2}{x + 3}$ нельзя зачеркнуть $x$ в числителе и знаменателе. Здесь $x$ — часть суммы, а сокращать можно только множители.
Правильно сначала разложить выражения на множители, если это возможно. Если общего множителя нет, дробь не сокращается.
Потеря знака минус
В дроби $\frac{b-a}{a-b}$ нельзя просто зачеркнуть числитель и знаменатель и получить $1$.
Нужно заметить, что $b-a = -(a-b)$.
Тогда: $\frac{b-a}{a-b} = \frac{-(a-b)}{a-b} = -1$.
Ответ: $-1$.
Делитель не перевернули
При делении дробей нужно перевернуть вторую дробь. Например: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ превращается в $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.
Если заменить деление на умножение, но оставить вторую дробь прежней, ответ получится неверным.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Умножь: $\frac{m-n}{m} \cdot \frac{m^2}{m-n}$.
Задание 2. Раздели: $\frac{15x}{y^3} : \frac{5x^2}{y^4}$.
Задание 3. Вычисли: $\frac{p^2-4p + 4}{p^2-1} \cdot \frac{p + 1}{p-2}$.
Решение к заданию 1.
Сокращаем скобку $(m-n)$, а $m^2$ делим на $m$: $\frac{m-n}{m} \cdot \frac{m^2}{m-n} = m$.
Ответ: $m$.
Решение к заданию 2.
Заменяем деление умножением и переворачиваем вторую дробь: $\frac{15x}{y^3} : \frac{5x^2}{y^4} = \frac{15x}{y^3} \cdot \frac{y^4}{5x^2}$.
Записываем под одну черту: $\frac{15x \cdot y^4}{y^3 \cdot 5x^2}$.
Сокращаем коэффициенты: $15 : 5 = 3$. Затем сокращаем $x$ и степени $y$: $\frac{15x \cdot y^4}{y^3 \cdot 5x^2} = \frac{3y}{x}$.
Ответ: $\frac{3y}{x}$.
Решение к заданию 3.
Раскладываем выражения на множители:
$p^2-4p + 4 = (p-2)^2$,
$p^2-1 = (p-1)(p + 1)$.
Получаем: $\frac{p^2-4p + 4}{p^2-1} \cdot \frac{p + 1}{p-2} = \frac{(p-2)^2}{(p-1)(p + 1)} \cdot \frac{p + 1}{p-2}$.
Записываем под одну черту: $\frac{(p-2)^2 \cdot (p + 1)}{(p-1)(p + 1)(p-2)}$.
Сокращаем $(p + 1)$ и один множитель $(p-2)$: $\frac{p-2}{p-1}$.
Ответ: $\frac{p-2}{p-1}$.
Заключение
В заданиях на умножение и деление алгебраических дробей главное — не спешить с сокращением. Сначала нужно превратить деление в умножение, если оно есть, затем разложить все выражения на множители и только после этого сокращать. Сокращать можно одинаковые множители, но нельзя отдельные слагаемые внутри суммы или разности. Этот алгоритм помогает уверенно решать задания экзамена по математике и школьные примеры на алгебраические дроби. Чтобы закрепить тему, рекомендуем решить несколько аналогичных прототипов в «100балльном банке».
