Умножение и деление алгебраических дробей: теория и примеры решений

Главное ограничение: знаменатель дроби не должен равняться нулю. Если в задании требуется указать область допустимых значений, нужно отдельно выписать значения переменных, при которых знаменатели обращаются в ноль, и исключить их.

Произведение двух алгебраических дробей равно новой дроби. В её числителе записывают произведение числителей, а в знаменателе — произведение знаменателей: $\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$.

Здесь $a$, $b$, $c$ и $d$ могут обозначать любые многочлены. При этом $b\ne 0$ и $d\ne 0$, потому что делить на ноль нельзя.

Делить одну дробь на другую означает умножить первую дробь на перевёрнутую вторую: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$.

Дроби $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$ называют взаимно обратными. При их умножении получается единица, если $x\ne 0$ и $y\ne 0$.

При делении ограничения строже: знаменатель первой дроби, знаменатель второй дроби и числитель второй дроби не должны быть равны нулю.

Чтобы не запутаться в длинных выражениях, действуй по одному порядку:

1. Если в примере есть целый многочлен без знаменателя, запиши его как дробь со знаменателем $1$.
2. Если перед тобой деление, замени его умножением и переверни вторую дробь.
3. Разложи числители и знаменатели на множители. Используй вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращённого умножения.
4. Запиши все множители под одну дробную черту.
5. Сократи одинаковые множители в числителе и знаменателе.
6. Выпиши оставшиеся множители и получи ответ.

Умножение с формулой сокращённого умножения

Условие

Выполни умножение: $\frac{x^2-y^2}{2xy}·\frac{4x}{x+y}$.

Деление алгебраических дробей

Условие

Выполни деление: $\frac{a^2-4b^2}{3a}:\frac{a-2b}{6a^2}$.

Умножение целого многочлена на дробь

Условие

Выполни действие: $(c+3)·\frac{5c}{c^2-9}$.

Сокращение слагаемых вместо множителей

Нельзя сокращать отдельные части суммы или разности. Например, в дроби $\frac{x+2}{x+3}$ нельзя зачеркнуть $x$ в числителе и знаменателе. Здесь $x$ — часть суммы, а сокращать можно только множители.

Правильно сначала разложить выражения на множители, если это возможно. Если общего множителя нет, дробь не сокращается.

Потеря знака минус

В дроби $\frac{b-a}{a-b}$ нельзя просто зачеркнуть числитель и знаменатель и получить $1$.

Нужно заметить, что $b-a=-(a-b)$.

Тогда: $\frac{b-a}{a-b}=\frac{-(a-b)}{a-b}=-1$.

Ответ: $-1$.

Делитель не перевернули

При делении дробей нужно перевернуть вторую дробь. Например: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$ превращается в $\frac{a}{b}·\frac{d}{c}$.

Если заменить деление на умножение, но оставить вторую дробь прежней, ответ получится неверным.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Умножь: $\frac{m-n}{m}·\frac{m^2}{m-n}$.

Задание 2. Раздели: $\frac{15x}{y^3}:\frac{5x^2}{y^4}$.

Задание 3. Вычисли: $\frac{p^2-4p+4}{p^2-1}·\frac{p+1}{p-2}$.

В заданиях на умножение и деление алгебраических дробей главное — не спешить с сокращением. Сначала нужно превратить деление в умножение, если оно есть, затем разложить все выражения на множители и только после этого сокращать. Сокращать можно одинаковые множители, но нельзя отдельные слагаемые внутри суммы или разности. Этот алгоритм помогает уверенно решать задания экзамена по математике и школьные примеры на алгебраические дроби. Чтобы закрепить тему, рекомендуем решить несколько аналогичных прототипов в «100балльном банке».