Главная
100балльный учебник
Математика
Преобразование рациональных выражений: теория и разбор заданий для 8 класса

Преобразование рациональных выражений: теория и разбор заданий для 8 класса

1.6К 171 ~10 мин

Обновлено 12.08.2026

Средняя школа
8 класс

Дарья Максимова

Методист «100балльного репетитора» по математике

Преобразование рациональных выражений встречается в заданиях экзамена по математике: в вычислительных примерах, дробях с переменными и упрощении выражений. Здесь важно видеть множители, правильно работать со знаками и не забывать об области допустимых значений. Разберём базовую теорию, алгоритм преобразований и три примера разного типа. В конце будут задания для самопроверки.

Теория для 8 класса

Рациональное выражение — это выражение, составленное из чисел и букв с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с целым показателем.

Рациональные выражения бывают целыми и дробными.

Целые выражения не содержат деления на переменную. Например: $3 x^{2} - 5 x + 1$ .

Дробные выражения содержат переменную в знаменателе. Например: $\frac{x + 2}{x - 3}$ .

С дробными выражениями всегда связано ограничение: на ноль делить нельзя.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — это все значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю.

Например, у выражения $\frac{x + 2}{x - 3}$ знаменатель равен нулю при $x = 3$ , поэтому $x \neq 3$ .

Тождественное преобразование рационального выражения — это замена исходного выражения на более простое, равное ему при всех допустимых значениях переменных.

Порядок действий

Порядок действий в рациональных выражениях такой же, как в обычной арифметике:

Выполняем действия в скобках.
Возводим в степень.
Выполняем умножение и деление.
Выполняем сложение и вычитание слева направо.

Иногда встречаются многоэтажные дроби, где в числителе или знаменателе стоят другие дроби. Чтобы не запутаться, самую длинную дробную черту удобно воспринимать как знак деления.

Например: $\frac{3}{\frac{1}{x}} = 3 : \frac{1}{x} = 3 x$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Алгоритм преобразования рациональных выражений

Чтобы упростить алгебраическую дробь, действуй по шагам.

Перепиши выражение и определи порядок действий.
Выполни действия в скобках.
Разложи числители и знаменатели на множители.
Используй вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения.
При сложении и вычитании приведи дроби к общему знаменателю.
При делении переверни вторую дробь и замени деление умножением.
Сократи одинаковые множители в числителе и знаменателе.
Проверь ОДЗ, если в выражении были переменные в знаменателях.

Чаще всего помогают такие формулы:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}

a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}

Разбор заданий

Ниже разберём три примера. Они показывают разные ситуации: упрощение одночленов, подстановку дроби в выражение и вычитание алгебраических дробей.

Пример с одночленами

Условие

Найди значение выражения: $(7 a x y - (- 4 x y a)) : 11 y a x$ .

Шаг 1. Разберём скобки

В скобках стоит вычитание отрицательного одночлена: $7 a x y - (- 4 x y a)$ .

Два минуса рядом дают плюс: $7 a x y + 4 x y a$ .

Буквенные части $a x y$ и $x y a$ одинаковые, потому что порядок множителей не влияет на произведение: $x y a = a x y$ .

Шаг 2. Сложим одночлены

Складываем коэффициенты: $7 a x y + 4 a x y = 11 a x y$ .

Шаг 3. Разделим и сократим

Теперь выражение принимает вид: $\frac{11 a x y}{11 y a x}$ .

Число $11$ сокращается. Переменные $a$ , $x$ , $y$ тоже сокращаются, потому что они входят в числитель и знаменатель как множители.

ОДЗ: $a \neq 0$ , $x \neq 0$ , $y \neq 0$ .

Получаем: $1$.

Главное в этом примере — заметить одинаковую буквенную часть и правильно обработать знак минус перед отрицательным одночленом.

Ответ: $1$.

Пример с подстановкой дроби

Условие

Найди значение дроби: $\frac{p (x)}{p (\frac{1}{x})}$ , если известно, что $p (x) = (x + \frac{3}{x}) (3 x + \frac{1}{x})$ .

Шаг 1. Подставим дробь вместо переменной

Чтобы найти $p (\frac{1}{x})$ , в исходную формулу вместо $x$ подставляем $\frac{1}{x}$ : $p (\frac{1}{x}) = (\frac{1}{x} + \frac{3}{\frac{1}{x}}) (3 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{1}{x}})$ .

Шаг 2. Упростим многоэтажные дроби

Разберём первый сложный фрагмент: $\frac{3}{\frac{1}{x}} = 3 : \frac{1}{x} = 3 x$ .

Второй фрагмент упрощается так же: $\frac{1}{\frac{1}{x}} = 1 : \frac{1}{x} = x$ .

Тогда: $p (\frac{1}{x}) = (\frac{1}{x} + 3 x) (\frac{3}{x} + x)$ .

Шаг 3. Сравним числитель и знаменатель

Исходное выражение: $p (x) = (x + \frac{3}{x}) (3 x + \frac{1}{x})$ .

Полученное выражение: $p (\frac{1}{x}) = (\frac{1}{x} + 3 x) (\frac{3}{x} + x)$ .

Заметим, что:

$\frac{1}{x} + 3 x = 3 x + \frac{1}{x}$ ,

$\frac{3}{x} + x = x + \frac{3}{x}$ .

То есть множители в числителе и знаменателе одинаковые, только записаны в другом порядке. Значит, дробь равна единице при допустимых значениях $x$ .

Этот пример проверяет аккуратность при подстановке дроби в дробное выражение.

Ответ: $1$.

Пример с вычитанием алгебраических дробей

Условие

Выполни вычитание: $\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}}{x^{2} + x - 2} - \frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1}{x + 2}$ .

Шаг 1. Разложим первую дробь на множители

В числителе первой дроби вынесем общий множитель $x^{2}$ : $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} = x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)$ .

В скобках стоит квадрат разности: $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ .

Значит, числитель равен: $x^{2} (x - 1)^{2}$ .

Теперь разложим знаменатель: $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ .

Первая дробь принимает вид: $\frac{x^{2} (x - 1)^{2}}{(x - 1) (x + 2)}$ .

Шаг 2. Сократим первую дробь

Сокращаем общий множитель $(x - 1)$ : $\frac{x^{2} (x - 1)}{x + 2}$ .

Раскроем скобки в числителе: $\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 2}$ .

При этом помним про исходные ограничения: $x \neq 1$ и $x \neq - 2$ .

Шаг 3. Выполним вычитание

Теперь знаменатели совпадают: $\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 2} - \frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1}{x + 2}$ .

Записываем под одну дробную черту: $\frac{x^{3} - x^{2} - (2 x^{3} + x^{2} + x - 1)}{x + 2}$ .

Минус перед второй дробью относится ко всему числителю, поэтому скобки обязательны.

Раскрываем скобки: $\frac{x^{3} - x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} - x + 1}{x + 2}$ .

Шаг 4. Приведём подобные слагаемые

Кубы: $x^{3} - 2 x^{3} = - x^{3}$ .

Квадраты: $- x^{2} - x^{2} = - 2 x^{2}$ .

Оставшиеся слагаемые: $- x + 1$ .

Получаем: $\frac{- x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{x + 2}$ .

В этом примере важно сначала разложить выражения на множители, а уже потом приводить дроби к общему знаменателю.

Ответ: $\frac{- x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{x + 2}$ , где $x \neq 1$ и $x \neq - 2$ .

Типичные ошибки

Сокращение слагаемых вместо множителей

Нельзя сокращать отдельную букву, если она не является множителем всего числителя.

Например, так делать нельзя: $\frac{x + 2}{x}$ .

Здесь $x$ в числителе входит только в одно слагаемое $x + 2$ , поэтому сократить его со знаменателем нельзя.

Сокращать можно только одинаковые множители: $\frac{x (x + 2)}{x} = x + 2, x \neq 0$ .

Потеря знака перед числителем

При вычитании дробей минус относится ко всему числителю второй дроби.

Неверно менять знак только у первого слагаемого. Нужно ставить скобки: $\frac{a}{c} - \frac{b + d}{c} = \frac{a - (b + d)}{c}$ .

После раскрытия скобок получаем: $\frac{a - b - d}{c}$ .

Поспешное раскрытие скобок

Если сразу раскрывать все скобки, выражение часто становится громоздким. Обычно удобнее сначала искать общий множитель или формулу сокращённого умножения.

Например: $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ .

Такую запись легко сократить в дроби: $\frac{x^{2} - 16}{x - 4} = \frac{(x - 4) (x + 4)}{x - 4} = x + 4, x \neq 4$ .

Игнорирование ОДЗ

После сокращения часть ограничений может исчезнуть из записи, но она остаётся для исходного выражения.

Например: $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 1} = x + 2$ .

Но исходная дробь не определена при $x = 1$ , поэтому правильная запись: $x + 2, x \neq 1$ .

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а потом проверь ответы.

Задание 1. Выполни сокращение: $\frac{4 a^{2} b}{2 a b^{2}}$ .

Задание 2. Упрости выражение: $\frac{x^{2} - 16}{x - 4}$ .

Задание 3. Найди разность: $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b}$ .

Решение к заданию 1. Сокращаем числовые коэффициенты: $4 : 2 = 2$ .

Затем сокращаем степени переменных: $\frac{4 a^{2} b}{2 a b^{2}} = \frac{2 a}{b}$ .

Ответ: $\frac{2 a}{b}$ , где $a \neq 0$ и $b \neq 0$ .

Решение к заданию 2. Используем разность квадратов: $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ .

Тогда: $\frac{x^{2} - 16}{x - 4} = \frac{(x - 4) (x + 4)}{x - 4} = x + 4$ .

Ответ: $x + 4$ , где $x \neq 4$ .

Решение к заданию 3. Общий знаменатель: $(a - b) (a + b)$ .

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a (a + b) - b (a - b)}{(a - b) (a + b)}$ .

Раскрываем скобки: $\frac{a^{2} + a b - (a b - b^{2})}{a^{2} - b^{2}}$ .

Меняем знаки после минуса: $\frac{a^{2} + a b - a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ .

Получаем: $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ .

Ответ: $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ , где $a \neq b$ и $a \neq - b$ .

Заключение

Рациональные выражения упрощаются по понятному алгоритму: сначала ищем множители, затем выполняем действия с дробями и только после этого сокращаем. Самые частые ошибки связаны со знаками, сокращением слагаемых и потерей ограничений из ОДЗ. Если в задании есть дробь с переменной в знаменателе, сразу проверь, при каких значениях выражение не имеет смысла. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке»: особенно полезны примеры на упрощение выражений и работу с алгебраическими дробями.

Понравилась статья?