Преобразование рациональных выражений встречается в заданиях экзамена по математике: в вычислительных примерах, дробях с переменными и упрощении выражений. Здесь важно видеть множители, правильно работать со знаками и не забывать об области допустимых значений. Разберём базовую теорию, алгоритм преобразований и три примера разного типа. В конце будут задания для самопроверки.
Теория для 8 класса
Рациональное выражение — это выражение, составленное из чисел и букв с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с целым показателем.
Рациональные выражения бывают целыми и дробными.
Целые выражения не содержат деления на переменную. Например: $3x^2-5x+1$.
Дробные выражения содержат переменную в знаменателе. Например: $\frac{x+2}{x-3}$.
С дробными выражениями всегда связано ограничение: на ноль делить нельзя.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — это все значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю.
Например, у выражения $\frac{x+2}{x-3}$ знаменатель равен нулю при $x=3$, поэтому $x \ne 3$.
Тождественное преобразование рационального выражения — это замена исходного выражения на более простое, равное ему при всех допустимых значениях переменных.
Порядок действий
Порядок действий в рациональных выражениях такой же, как в обычной арифметике:
- Выполняем действия в скобках.
- Возводим в степень.
- Выполняем умножение и деление.
- Выполняем сложение и вычитание слева направо.
Иногда встречаются многоэтажные дроби, где в числителе или знаменателе стоят другие дроби. Чтобы не запутаться, самую длинную дробную черту удобно воспринимать как знак деления.
Например: $\frac{3}{\frac{1}{x}}=3:\frac{1}{x}=3x$.
Алгоритм преобразования рациональных выражений
Чтобы упростить алгебраическую дробь, действуй по шагам.
- Перепиши выражение и определи порядок действий.
- Выполни действия в скобках.
- Разложи числители и знаменатели на множители.
- Используй вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения.
- При сложении и вычитании приведи дроби к общему знаменателю.
- При делении переверни вторую дробь и замени деление умножением.
- Сократи одинаковые множители в числителе и знаменателе.
- Проверь ОДЗ, если в выражении были переменные в знаменателях.
Чаще всего помогают такие формулы:
Разбор заданий
Ниже разберём три примера. Они показывают разные ситуации: упрощение одночленов, подстановку дроби в выражение и вычитание алгебраических дробей.
Пример с одночленами
Условие
Найди значение выражения: $(7axy-(-4xya)):11yax$.
Шаг 1. Разберём скобки
В скобках стоит вычитание отрицательного одночлена: $7axy-(-4xya)$.
Два минуса рядом дают плюс: $7axy+4xya$.
Буквенные части $axy$ и $xya$ одинаковые, потому что порядок множителей не влияет на произведение: $xya=axy$.
Шаг 2. Сложим одночлены
Складываем коэффициенты: $7axy+4axy=11axy$.
Шаг 3. Разделим и сократим
Теперь выражение принимает вид: $\frac{11axy}{11yax}$.
Число $11$ сокращается. Переменные $a$, $x$, $y$ тоже сокращаются, потому что они входят в числитель и знаменатель как множители.
ОДЗ: $a\ne0$, $x\ne0$, $y\ne0$.
Получаем: $1$.
Главное в этом примере — заметить одинаковую буквенную часть и правильно обработать знак минус перед отрицательным одночленом.
Ответ: $1$.
Пример с подстановкой дроби
Условие
Найди значение дроби: $\frac{p(x)}{p\left(\frac{1}{x}\right)}$, если известно, что $p(x)=\left(x+\frac{3}{x}\right)\left(3x+\frac{1}{x}\right)$.
Шаг 1. Подставим дробь вместо переменной
Чтобы найти $p\left(\frac{1}{x}\right)$, в исходную формулу вместо $x$ подставляем $\frac{1}{x}$: $p\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{3}{\frac{1}{x}}\right)\left(3\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{x}}\right)$.
Шаг 2. Упростим многоэтажные дроби
Разберём первый сложный фрагмент: $\frac{3}{\frac{1}{x}}=3:\frac{1}{x}=3x$.
Второй фрагмент упрощается так же: $\frac{1}{\frac{1}{x}}=1:\frac{1}{x}=x$.
Тогда: $p\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{x}+3x\right)\left(\frac{3}{x}+x\right)$.
Шаг 3. Сравним числитель и знаменатель
Исходное выражение: $p(x)=\left(x+\frac{3}{x}\right)\left(3x+\frac{1}{x}\right)$.
Полученное выражение: $p\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{x}+3x\right)\left(\frac{3}{x}+x\right)$.
Заметим, что:
$\frac{1}{x}+3x=3x+\frac{1}{x}$,
$\frac{3}{x}+x=x+\frac{3}{x}$.
То есть множители в числителе и знаменателе одинаковые, только записаны в другом порядке. Значит, дробь равна единице при допустимых значениях $x$.
Этот пример проверяет аккуратность при подстановке дроби в дробное выражение.
Ответ: $1$.
Пример с вычитанием алгебраических дробей
Условие
Выполни вычитание: $\frac{x^4-2x^3+x^2}{x^2+x-2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}$.
Шаг 1. Разложим первую дробь на множители
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $x^2$: $x^4-2x^3+x^2=x^2(x^2-2x+1)$.
В скобках стоит квадрат разности: $x^2-2x+1=(x-1)^2$.
Значит, числитель равен: $x^2(x-1)^2$.
Теперь разложим знаменатель: $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$.
Первая дробь принимает вид: $\frac{x^2(x-1)^2}{(x-1)(x+2)}$.
Шаг 2. Сократим первую дробь
Сокращаем общий множитель $(x-1)$: $\frac{x^2(x-1)}{x+2}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{x^3-x^2}{x+2}$.
При этом помним про исходные ограничения: $x \ne 1$ и $x \ne-2$.
Шаг 3. Выполним вычитание
Теперь знаменатели совпадают: $\frac{x^3-x^2}{x+2}-\frac{2x^3+x^2+x-1}{x+2}$.
Записываем под одну дробную черту: $\frac{x^3-x^2-(2x^3+x^2+x-1)}{x+2}$.
Минус перед второй дробью относится ко всему числителю, поэтому скобки обязательны.
Раскрываем скобки: $\frac{x^3-x^2-2x^3-x^2-x+1}{x+2}$.
Шаг 4. Приведём подобные слагаемые
Кубы: $x^3-2x^3=-x^3$.
Квадраты: $-x^2-x^2=-2x^2$.
Оставшиеся слагаемые: $-x+1$.
Получаем: $\frac{-x^3-2x^2-x+1}{x+2}$.
В этом примере важно сначала разложить выражения на множители, а уже потом приводить дроби к общему знаменателю.
Ответ: $\frac{-x^3-2x^2-x+1}{x+2}$, где $x \ne 1$ и $x \ne-2$.
Типичные ошибки
Сокращение слагаемых вместо множителей
Нельзя сокращать отдельную букву, если она не является множителем всего числителя.
Например, так делать нельзя: $\frac{x+2}{x}$.
Здесь $x$ в числителе входит только в одно слагаемое $x+2$, поэтому сократить его со знаменателем нельзя.
Сокращать можно только одинаковые множители: $\frac{x(x+2)}{x}=x+2,\quad x \ne 0$.
Потеря знака перед числителем
При вычитании дробей минус относится ко всему числителю второй дроби.
Неверно менять знак только у первого слагаемого. Нужно ставить скобки: $\frac{a}{c}-\frac{b+d}{c}=\frac{a-(b+d)}{c}$.
После раскрытия скобок получаем: $\frac{a-b-d}{c}$.
Поспешное раскрытие скобок
Если сразу раскрывать все скобки, выражение часто становится громоздким. Обычно удобнее сначала искать общий множитель или формулу сокращённого умножения.
Например: $x^2-16=(x-4)(x+4)$.
Такую запись легко сократить в дроби: $\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4,\quad x \ne 4$.
Игнорирование ОДЗ
После сокращения часть ограничений может исчезнуть из записи, но она остаётся для исходного выражения.
Например: $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2$.
Но исходная дробь не определена при $x=1$, поэтому правильная запись: $x+2,\quad x \ne 1$.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а потом проверь ответы.
Задание 1. Выполни сокращение: $\frac{4a^2b}{2ab^2}$.
Задание 2. Упрости выражение: $\frac{x^2-16}{x-4}$.
Задание 3. Найди разность: $\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}$.
Решение к заданию 1. Сокращаем числовые коэффициенты: $4:2=2$.
Затем сокращаем степени переменных: $\frac{4a^2b}{2ab^2}=\frac{2a}{b}$.
Ответ: $\frac{2a}{b}$, где $a \ne 0$ и $b \ne 0$.
Решение к заданию 2. Используем разность квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$.
Тогда: $\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$.
Ответ: $x+4$, где $x \ne 4$.
Решение к заданию 3. Общий знаменатель: $(a-b)(a+b)$.
Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}=\frac{a(a+b)-b(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.
Раскрываем скобки: $\frac{a^2+ab-(ab-b^2)}{a^2-b^2}$.
Меняем знаки после минуса: $\frac{a^2+ab-ab+b^2}{a^2-b^2}$.
Получаем: $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.
Ответ: $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$, где $a \ne b$ и $a \ne-b$.
Заключение
Рациональные выражения упрощаются по понятному алгоритму: сначала ищем множители, затем выполняем действия с дробями и только после этого сокращаем. Самые частые ошибки связаны со знаками, сокращением слагаемых и потерей ограничений из ОДЗ. Если в задании есть дробь с переменной в знаменателе, сразу проверь, при каких значениях выражение не имеет смысла. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке»: особенно полезны примеры на упрощение выражений и работу с алгебраическими дробями.
