Сложение и вычитание алгебраических дробей

Например: $\frac{x+2}{x-3}$, $\frac{5a}{a^2-4}$, $\frac{3x-y}{2x}$.

Главную роль играет знаменатель. От его вида зависит, можно ли сразу сложить дроби или сначала нужно привести их к общему знаменателю.

Если знаменатели одинаковые, нужно сложить или вычесть числители. Знаменатель остаётся прежним.

Базовая формула: $\frac{A}{C}\pm \frac{B}{C}=\frac{A\pm B}{C}$.

Самая частая сложность здесь связана со знаками. Если перед второй дробью стоит минус, он относится ко всему числителю второй дроби.

Например: $\frac{A}{C}-\frac{B+D}{C}=\frac{A-(B+D)}{C}$.

После раскрытия скобок знаки внутри второго числителя меняются: $A-(B+D)=A-B-D$.

Дроби с разными знаменателями нельзя складывать или вычитать сразу. Сначала их нужно привести к общему знаменателю.

Для этого часто приходится раскладывать знаменатели на множители:

• выносить общий множитель за скобки;
• использовать формулы сокращённого умножения.

После разложения легче увидеть, каких множителей не хватает каждой дроби, и найти наименьший общий знаменатель.

Например:

$a^2-5a=a(a-5)$;

$x^2-9=(x-3)(x+3)$.

Чтобы не запутаться в длинном выражении, используй один порядок действий.

1. Разложи знаменатели на множители. Вынеси общий множитель за скобки или примени формулы сокращённого умножения.
2. Найди общий знаменатель. Он должен включать все разные множители из исходных знаменателей. Если множитель повторяется, бери его в наибольшей степени.
3. Определи дополнительные множители. Сравни знаменатель каждой дроби с общим знаменателем и найди, чего ему не хватает.
4. Домножь числители. Каждый числитель умножается на свой дополнительный множитель.
5. Выполни сложение или вычитание. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые.
6. Проверь, можно ли сократить дробь. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.

Пример с одинаковыми знаменателями

Условие

Упрости выражение: $\frac{5x+3y}{4x}-\frac{x-y}{4x}$.

Пример с разными знаменателями

Условие

Упрости выражение: $\frac{3}{a^2-5a}+\frac{2}{a}$.

Пример с формулой сокращённого умножения

Условие

Упрости выражение: $\frac{x}{x^2-9}-\frac{1}{x-3}$.

Потеря знака при вычитании

Неверно: $\frac{2a}{c}-\frac{a-5}{c}=\frac{2a-a-5}{c}$.

Верно: $\frac{2a}{c}-\frac{a-5}{c}=\frac{2a-(a-5)}{c}=\frac{2a-a+5}{c}$.

Минус перед дробной чертой относится ко всему числителю второй дроби. Поэтому числитель нужно брать в скобки.

Поиск лишнего общего знаменателя

Можно, но громоздко: для дробей $\frac{1}{2x}$ и $\frac{1}{4x^2}$ искать общий знаменатель простым перемножением и получать $8x^3$.

Лучше: найти наименьший общий знаменатель. Для этих дробей он равен $4x^2$.

Если перемножать знаменатели без разложения и сравнения множителей, выражение становится громоздким. Решение можно получить, но придётся делать лишние преобразования.

Незаконное сокращение

Неверно: в дроби $\frac{x+2}{x}$ сокращать $x$ в числителе и знаменателе.

Верно: оставить дробь без сокращения.

Сокращать можно только множители. В выражении $x+2$ переменная $x$ — слагаемое, поэтому сокращение невозможно.

Реши задания на черновике, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Упрости: $\frac{7a+2}{3a}-\frac{4a+2}{3a}$.

Задание 2. Сложи дроби: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}$.

Задание 3. Упрости выражение: $\frac{4}{y^2-4y}-\frac{1}{y}$.

Чтобы складывать и вычитать алгебраические дроби, сначала смотри на знаменатели. Если они одинаковые, работай только с числителями и внимательно раскрывай скобки при вычитании. Если знаменатели разные, разложи их на множители, найди общий знаменатель и дополнительные множители. В конце обязательно проверь, можно ли сократить дробь: сокращаются только множители, а не слагаемые. Эти правила помогают решать задания на преобразование выражений в школьной алгебре и на экзамене по математике.