Сложение и вычитание алгебраических дробей встречается в школьной алгебре и заданиях по математике, где нужно преобразовывать выражения. Ошибки чаще всего появляются из-за путаницы в порядке действий, знаках и при поиске общего знаменателя. В статье разберём основные правила, пошаговый алгоритм и типичные ловушки. После этого ты сможешь увереннее упрощать выражения с алгебраическими дробями.
Что такое алгебраическая дробь
Например: $\frac{x + 2}{x-3}$, $\frac{5a}{a^2-4}$, $\frac{3x-y}{2x}$.
Главную роль играет знаменатель. От его вида зависит, можно ли сразу сложить дроби или сначала нужно привести их к общему знаменателю.
Дроби с одинаковыми знаменателями
Если знаменатели одинаковые, нужно сложить или вычесть числители. Знаменатель остаётся прежним.
Базовая формула: $\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$.
Самая частая сложность здесь связана со знаками. Если перед второй дробью стоит минус, он относится ко всему числителю второй дроби.
Например: $\frac{A}{C}-\frac{B + D}{C} = \frac{A-(B + D)}{C}$.
После раскрытия скобок знаки внутри второго числителя меняются: $A-(B + D) = A-B-D$.
Дроби с разными знаменателями
Дроби с разными знаменателями нельзя складывать или вычитать сразу. Сначала их нужно привести к общему знаменателю.
Для этого часто приходится раскладывать знаменатели на множители:
- выносить общий множитель за скобки;
- использовать формулы сокращённого умножения.
После разложения легче увидеть, каких множителей не хватает каждой дроби, и найти наименьший общий знаменатель.
Например:
$a^2-5a = a(a-5)$;
$x^2-9 = (x-3)(x + 3)$.
Алгоритм решения
Чтобы не запутаться в длинном выражении, используй один порядок действий.
- Разложи знаменатели на множители. Вынеси общий множитель за скобки или примени формулы сокращённого умножения.
- Найди общий знаменатель. Он должен включать все разные множители из исходных знаменателей. Если множитель повторяется, бери его в наибольшей степени.
- Определи дополнительные множители. Сравни знаменатель каждой дроби с общим знаменателем и найди, чего ему не хватает.
- Домножь числители. Каждый числитель умножается на свой дополнительный множитель.
- Выполни сложение или вычитание. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые.
- Проверь, можно ли сократить дробь. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.
Примеры решений
Пример с одинаковыми знаменателями
Условие
Упрости выражение: $\frac{5x + 3y}{4x}-\frac{x-y}{4x}$.
Шаг 1. Знаменатели одинаковые, поэтому записываем дроби под одну черту. Второй числитель берём в скобки, потому что перед дробью стоит знак вычитания: $\frac{(5x + 3y)-(x-y)}{4x}$.
Шаг 2. Раскрываем скобки в числителе. Минус перед скобками меняет знаки внутри: $\frac{5x + 3y-x + y}{4x}$.
Шаг 3. Приводим подобные слагаемые:
$5x-x = 4x$;
$3y + y = 4y$.
Получаем: $\frac{4x + 4y}{4x}$.
Шаг 4. Выносим общий множитель $4$ в числителе: $\frac{4(x + y)}{4x}$.
Шаг 5. Сокращаем дробь на $4$: $\frac{x + y}{x}$.
Ответ: $\frac{x + y}{x}$.
Пример с разными знаменателями
Условие
Упрости выражение: $\frac{3}{a^2-5a} + \frac{2}{a}$.
Шаг 1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2-5a = a(a-5)$.
Теперь выражение можно записать так: $\frac{3}{a(a-5)} + \frac{2}{a}$.
Шаг 2. Найдём общий знаменатель. В первой дроби знаменатель уже равен $a(a-5)$, во второй — $a$. Значит, общий знаменатель: $a(a-5)$.
Шаг 3. Найдём дополнительные множители.
Первую дробь ни на что домножать не нужно, её дополнительный множитель равен $1$.
Второй дроби не хватает множителя $(a-5)$.
Шаг 4. Домножим числители и запишем дроби под одну черту: $\frac{3 \cdot 1}{a(a-5)} + \frac{2(a-5)}{a(a-5)} = \frac{3 + 2(a-5)}{a(a-5)}$.
Шаг 5. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $\frac{3 + 2a-10}{a(a-5)} = \frac{2a-7}{a(a-5)}$.
Ответ: $\frac{2a-7}{a(a-5)}$.
Пример с формулой сокращённого умножения
Условие
Упрости выражение: $\frac{x}{x^2-9}-\frac{1}{x-3}$.
Шаг 1. В знаменателе первой дроби стоит разность квадратов: $x^2-9 = (x-3)(x + 3)$.
Тогда выражение принимает вид: $\frac{x}{(x-3)(x + 3)}-\frac{1}{x-3}$.
Шаг 2. Общий знаменатель: $(x-3)(x + 3)$.
Шаг 3. Для второй дроби дополнительным множителем будет $(x + 3)$.
Шаг 4. Домножим числитель второй дроби и выполним вычитание: $\frac{x}{(x-3)(x + 3)}-\frac{1 \cdot (x + 3)}{(x-3)(x + 3)} = \frac{x-(x + 3)}{(x-3)(x + 3)}$.
Шаг 5. Раскроем скобки в числителе: $\frac{x-x-3}{(x-3)(x + 3)}$.
Шаг 6. Приведём подобные слагаемые: $\frac{-3}{(x-3)(x + 3)}$.
Ответ: $\frac{-3}{(x-3)(x + 3)}$.
Типичные ошибки
Потеря знака при вычитании
Неверно: $\frac{2a}{c}-\frac{a-5}{c} = \frac{2a-a-5}{c}$.
Верно: $\frac{2a}{c}-\frac{a-5}{c} = \frac{2a-(a-5)}{c} = \frac{2a-a + 5}{c}$.
Минус перед дробной чертой относится ко всему числителю второй дроби. Поэтому числитель нужно брать в скобки.
Поиск лишнего общего знаменателя
Можно, но громоздко: для дробей $\frac{1}{2x}$ и $\frac{1}{4x^2}$ искать общий знаменатель простым перемножением и получать $8x^3$.
Лучше: найти наименьший общий знаменатель. Для этих дробей он равен $4x^2$.
Если перемножать знаменатели без разложения и сравнения множителей, выражение становится громоздким. Решение можно получить, но придётся делать лишние преобразования.
Незаконное сокращение
Неверно: в дроби $\frac{x + 2}{x}$ сокращать $x$ в числителе и знаменателе.
Верно: оставить дробь без сокращения.
Сокращать можно только множители. В выражении $x + 2$ переменная $x$ — слагаемое, поэтому сокращение невозможно.
Самопроверка
Реши задания на черновике, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Упрости: $\frac{7a + 2}{3a}-\frac{4a + 2}{3a}$.
Задание 2. Сложи дроби: $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x + 2}$.
Задание 3. Упрости выражение: $\frac{4}{y^2-4y}-\frac{1}{y}$.
Решение к заданию 1. Под общей чертой получится: $7a + 2-(4a + 2) = 7a + 2-4a-2 = 3a$.
Значит: $\frac{3a}{3a} = 1$, при $a \ne 0$.
Ответ: $1$.
Решение к заданию 2. Общий знаменатель: $(x-2)(x + 2)$.
Числитель: $x + 2 + x-2 = 2x$.
Получаем: $\frac{2x}{(x-2)(x + 2)} = \frac{2x}{x^2-4}$.
Ответ: $\frac{2x}{x^2-4}$.
Решение к заданию 3. Сначала разложим знаменатель первой дроби $y^2-4y = y(y-4)$.
Общий знаменатель: $y(y-4)$.
Второй дроби не хватает множителя $(y-4)$: $\frac{4}{y(y-4)}-\frac{1 \cdot (y-4)}{y(y-4)} = \frac{4-(y-4)}{y(y-4)}$.
Раскрываем скобки: $\frac{4-y + 4}{y(y-4)} = \frac{8-y}{y(y-4)}$.
Ответ: $\frac{8-y}{y(y-4)}$.
Заключение
Чтобы складывать и вычитать алгебраические дроби, сначала смотри на знаменатели. Если они одинаковые, работай только с числителями и внимательно раскрывай скобки при вычитании. Если знаменатели разные, разложи их на множители, найди общий знаменатель и дополнительные множители. В конце обязательно проверь, можно ли сократить дробь: сокращаются только множители, а не слагаемые. Эти правила помогают решать задания на преобразование выражений в школьной алгебре и на экзамене по математике.
