Квадратный трёхчлен: теория, алгоритм и примеры для 8 класса

Корень квадратного трёхчлена — это значение переменной, при котором трёхчлен обращается в ноль. Чтобы найти корни выражения $a{x}^2+bx+c$, нужно приравнять его к нулю и решить квадратное уравнение: $a{x}^2+bx+c=0$.

Уравнения и многочлены нужны для разных задач. Уравнение решают, чтобы найти неизвестное. Многочлен чаще раскладывают на удобные множители, чтобы потом сокращать выражения или выполнять другие преобразования.

Логика работы с дискриминантом

Работа с квадратным трёхчленом зависит от значения дискриминанта. Его обозначают буквой $D$: $D=b^2-4ac$. Корни вычисляют по формуле: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}$.

Если дискриминант больше нуля, то есть $D>0$, выражение имеет два различных корня. В этом случае его можно разложить на линейные множители: $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$,

где $x_1$ и $x_2$ — найденные корни квадратного трёхчлена.

Если дискриминант равен нулю, то есть $D=0$, выражение имеет один корень или два совпадающих корня $x_0$. Тогда разложение записывается так: $a{x}^2+bx+c=a(x-x_0{)}^2$.

Выражение в скобках является полным квадратом. Его можно свернуть по формулам квадрата суммы или квадрата разности.

Если дискриминант меньше нуля, то есть $D<0$, многочлен не имеет действительных корней. В рамках школьного курса 8 класса его нельзя разложить на линейные множители.

Метод выделения полного квадрата

Кроме нахождения корней и разложения на множители, часто используют выделение полного квадрата. Это тождественное преобразование, при котором выражение $a{x}^2+bx+c$ представляют в виде: $a(x-m{)}^2+n$, где $m$ и $n$ — некоторые числа.

Метод применяют в задачах на нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратного трёхчлена. Выражение $(x-m{)}^2$ всегда больше или равно нулю. Поэтому при $a>0$ трёхчлен принимает наименьшее значение, равное $n$, при $x=m$. Если $a<0$, трёхчлен принимает наибольшее значение, тоже равное $n$, при $x=m$.

Этот приём пригодится в старших классах при изучении графиков функций.

Большинство школьных задач на квадратный трёхчлен можно решать по одному алгоритму.

1. Выпиши исходный квадратный трёхчлен отдельно.
2. Приравняй выражение к нулю.
3. Найди дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$.
4. Вычисли корни $x_1$ и $x_2$, если они существуют.
5. Подставь найденные значения и старший коэффициент $a$ в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$.

Условие

Найди корни выражения: $-t^2+13t-40$.

Условие

Разложи на линейные множители выражение: $x^2-x-12$.

Условие

Разложи на множители трёхчлен: $x^2+x-2$.

В задачах на квадратный трёхчлен чаще всего ошибаются в знаках, дискриминанте и старшем коэффициенте. Разберём основные случаи.

Потеря старшего коэффициента

Ошибка: раскладывать выражение $2x^2-5x+3$ только как $(x-1,5)(x-1)$.

Правильно: старший коэффициент нужно сохранить перед скобками: $2x^2-5x+3=2(x-1,5)(x-1)$.

Чтобы избавиться от дробного числа в скобке, можно внести множитель $2$ в первую скобку: $2(x-1,5)(x-1)=(2x-3)(x-1)$.

Ошибки со знаками отрицательных корней

Ошибка: при найденном корне $x_1=-5$ писать в разложении скобку $(x-5)$.

Правильно: нужно помнить исходную формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$. Если корень отрицательный, знак в скобке меняется: $x-(-5)=x+5$.

Значит, нужная скобка — $(x+5)$.

Поиск корней при отрицательном дискриминанте

Ошибка: пытаться извлечь корень из отрицательного числа или записывать разложение наугад.

Правильно: если $D<0$, выражение не имеет действительных корней. В рамках программы 8 класса дальше такое выражение не раскладывают на линейные множители.

Закрепи алгоритм на двух коротких заданиях.

Задание 1. Разложи на линейные множители: $x^2-7x+10$.

Задание 2. Назови корни выражения: $3x^2-12x$.

Квадратный трёхчлен можно исследовать через квадратное уравнение: приравнять выражение к нулю, найти дискриминант и определить корни. Если корни существуют, трёхчлен раскладывается по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$. Старший коэффициент $a$ нужно сохранять всегда, иначе разложение получится неверным. При отрицательном корне знак в скобке меняется на противоположный. Эти правила помогают быстрее решать задачи на преобразование выражений и сокращение дробей. Чтобы закрепить тему, рекомендуем решить несколько аналогичных заданий из нашего банка заданий.