Разложение многочленов на множители изучают в 7 классе, а затем эта тема постоянно возвращается в алгебре и заданиях экзамена по математике. Без этого навыка сложно упрощать алгебраические дроби, решать уравнения и замечать удобные преобразования. В статье разберём основные способы разложения, общий алгоритм и типичные ошибки. После этого ты сможешь увереннее работать с выражениями, которые на первый взгляд кажутся длинными и запутанными.

Базовая теория

Например, выражение $x^{2} - 9$ можно записать как произведение: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

Есть три основных способа разложения: вынесение общего множителя, группировка и применение формул сокращённого умножения.

Вынесение общего множителя

Вынесение общего множителя основано на распределительном свойстве умножения: $a c + b c = c (a + b)$ .

Чтобы вынести общий множитель, нужно:

Найти наибольший общий делитель числовых коэффициентов.
Выбрать переменные, которые входят в каждое слагаемое.
Взять эти переменные с наименьшим показателем степени.
Разделить каждое слагаемое на найденный общий множитель и записать результат в скобках.

Например, в выражении $15 a^{2} b + 10 a b^{2}$ общим множителем будет $5 a b$ , потому что оба коэффициента делятся на $5$, а переменные $a$ и $b$ есть в каждом слагаемом.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Метод группировки

Метод группировки используют, когда у всех слагаемых нет общего множителя. Тогда выражение разбивают на группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести свой общий множитель.

После вынесения в группах должна появиться одинаковая скобка. Её затем выносят как общий множитель.

Например: $a^{2} - 2 a b + 3 a - 6 b = (a^{2} - 2 a b) + (3 a - 6 b)$ .

В первой группе можно вынести $a$ , во второй — $3$: $a (a - 2 b) + 3 (a - 2 b)$ .

Теперь появилась общая скобка $(a - 2 b)$ : $(a - 2 b) (a + 3)$ .

Если одинаковая скобка не получилась, нужно попробовать другую группировку.

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения можно использовать в обратном направлении, чтобы сворачивать выражение в произведение.

Самые важные формулы:

разность квадратов: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ;
квадрат суммы: $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ;
квадрат разности: $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ;
разность кубов: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ ;
сумма кубов: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ .

Чаще всего в 7 классе встречаются разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности.

Алгоритм разложения многочлена на множители

Чтобы не пропустить важный шаг, действуй по порядку.

Проверь, есть ли общий множитель у всех слагаемых. Если есть, вынеси его за скобки.
Посчитай количество слагаемых после вынесения общего множителя.
Если осталось два или три слагаемых, проверь формулы сокращённого умножения.
Если слагаемых четыре или больше, попробуй метод группировки.
Проверь результат: внутри скобок не должно остаться выражений, которые можно разложить дальше.

Разбор задач

Посмотрим, как алгоритм работает на типичных школьных примерах.

Пример с общим множителем

Условие

Разложи на множители выражение $15 a^{2} b + 10 a b^{2}$ .

Шаг 1. Находим наибольший общий делитель коэффициентов $15$ и $10$. Это число $5$.

Шаг 2. Ищем общие переменные с наименьшими степенями. Буква $a$ есть в обоих слагаемых, минимальная степень равна $1$. Буква $b$ тоже есть в обоих слагаемых, её минимальная степень равна $1$.

Общий множитель: $5 a b$ .

Шаг 3. Делим каждое слагаемое на $5 a b$ :

$15 a^{2} b : 5 a b = 3 a$ ;

$10 a b^{2} : 5 a b = 2 b$ .

Получаем: $15 a^{2} b + 10 a b^{2} = 5 a b (3 a + 2 b)$ .

Проверка. Если умножить $5 a b$ на каждое слагаемое в скобках, получится исходное выражение: $5 a b \cdot 3 a + 5 a b \cdot 2 b = 15 a^{2} b + 10 a b^{2}$ .

Ответ: $5 a b (3 a + 2 b)$ .

Пример на группировку

Условие

Выполни преобразование выражения $a b - 2 b + 3 a - 6$ .

Шаг 1. Общего множителя для всех четырёх слагаемых нет. Значит, используем группировку: $a b - 2 b + 3 a - 6 = (a b - 2 b) + (3 a - 6)$ .

Шаг 2. В первой скобке выносим $b$ , во второй — $3$: $(a b - 2 b) + (3 a - 6) = b (a - 2) + 3 (a - 2)$ .

Шаг 3. У двух слагаемых появился общий множитель $(a - 2)$ . Выносим эту скобку: $b (a - 2) + 3 (a - 2) = (a - 2) (b + 3)$ .

Метод сработал, потому что после первого вынесения получились одинаковые скобки. Если бы скобки отличались, нужно было бы изменить группировку.

Ответ: $(a - 2) (b + 3)$ .

Пример с комбинированным подходом

Условие

Разложи многочлен $2 x^{3} - 18 x$ .

Шаг 1. Сначала ищем общий множитель. Оба коэффициента делятся на $2$, а переменная $x$ есть в каждом слагаемом. Выносим $2 x$ : $2 x^{3} - 18 x = 2 x (x^{2} - 9)$ .

Шаг 2. Проверяем скобку. Выражение $x^{2} - 9$ можно разложить дальше, потому что это разность квадратов: $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2}$ .

Шаг 3. Применяем формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ : $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

Получаем полный результат: $2 x^{3} - 18 x = 2 x (x - 3) (x + 3)$ .

В этом примере понадобились два приёма: сначала вынесение общего множителя, затем формула разности квадратов. Если остановиться на $2 x (x^{2} - 9)$ , разложение будет неполным.

Ответ: $2 x (x - 3) (x + 3)$ .

Типичные ошибки

Даже при знании правил легко потерять баллы из-за невнимательности. Проверь, не допускаешь ли ты эти ошибки.

Потеря единицы при вынесении множителя

Неверно: $x^{2} + x = x (x)$ .

Верно: $x^{2} + x = x (x + 1)$ .

При вынесении множителя мы делим каждое слагаемое на него. Если разделить $x$ на $x$ , получится $1$, а не $0$. Единицу обязательно надо записать в скобках, иначе слагаемое пропадёт.

Неполное разложение

Разложи: $2 x^{2} - 32$ .

Неверно: $2 (x^{2} - 16)$ .

Верно: $2 (x - 4) (x + 4)$ .

Скобка $x^{2} - 16$ раскладывается по формуле разности квадратов, поэтому на ней нельзя останавливаться.

Ошибки со знаками

Неверно: $- a - b = - (a - b)$ .

Верно: $- a - b = - (a + b)$ .

Если выносишь минус за скобку, все знаки внутри скобки меняются на противоположные.

Практическая самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Разложи выражение: $7 x^{2} - 14 x$ .

Задание 2. Примени формулу разности квадратов: $25 y^{2} - 49$ .

Задание 3. Разложи группировкой: $x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ .

Решение к заданию 1. Выносим $7 x$ : $7 x^{2} - 14 x = 7 x (x - 2)$ .

Ответ: $7 x (x - 2)$ .

Решение к заданию 2. Представляем $25 y^{2}$ как $(5 y)^{2}$ , а $49$ как $7^{2}$ : $25 y^{2} - 49 = (5 y)^{2} - 7^{2} = (5 y - 7) (5 y + 7)$ .

Ответ: $(5 y - 7) (5 y + 7)$ .

Решение к заданию 3. Группируем первые два и последние два слагаемых: $x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = (x^{3} + 2 x^{2}) + (- 4 x - 8)$ .

Выносим общие множители: $x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2)$ .

Выносим общую скобку $(x + 2)$ : $(x + 2) (x^{2} - 4)$ .

Скобку $x^{2} - 4$ раскладываем как разность квадратов: $(x + 2) (x - 2) (x + 2)$ .

Можно записать короче: $(x + 2)^{2} (x - 2)$ .

Ответ: $(x + 2)^{2} (x - 2)$ .

Заключение

Разложение многочлена на множители помогает переходить от суммы к произведению скобок. Сначала всегда проверяй общий множитель, затем смотри на количество слагаемых и выбирай подходящий способ: формулы сокращённого умножения или группировку. Ответ считается полным, если ни одну скобку уже нельзя разложить дальше. Этот навык пригодится в уравнениях, алгебраических дробях и заданиях экзамена по математике. Чтобы закрепить тему, реши ещё несколько похожих примеров в «100балльном банке» и каждый раз проверяй ответ раскрытием скобок.