Разложение многочленов на множители изучают в 7 классе, а затем эта тема постоянно возвращается в алгебре и заданиях экзамена по математике. Без этого навыка сложно упрощать алгебраические дроби, решать уравнения и замечать удобные преобразования. В статье разберём основные способы разложения, общий алгоритм и типичные ошибки. После этого ты сможешь увереннее работать с выражениями, которые на первый взгляд кажутся длинными и запутанными.
Базовая теория
Например, выражение $x^2-9$ можно записать как произведение: $x^2-9 = (x-3)(x + 3)$.
Есть три основных способа разложения: вынесение общего множителя, группировка и применение формул сокращённого умножения.
Вынесение общего множителя
Вынесение общего множителя основано на распределительном свойстве умножения: $ac + bc = c(a + b)$.
Чтобы вынести общий множитель, нужно:
- Найти наибольший общий делитель числовых коэффициентов.
- Выбрать переменные, которые входят в каждое слагаемое.
- Взять эти переменные с наименьшим показателем степени.
- Разделить каждое слагаемое на найденный общий множитель и записать результат в скобках.
Например, в выражении $15a^2b + 10ab^2$ общим множителем будет $5ab$, потому что оба коэффициента делятся на $5$, а переменные $a$ и $b$ есть в каждом слагаемом.
Метод группировки
Метод группировки используют, когда у всех слагаемых нет общего множителя. Тогда выражение разбивают на группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести свой общий множитель.
После вынесения в группах должна появиться одинаковая скобка. Её затем выносят как общий множитель.
Например: $a^2-2ab + 3a-6b = (a^2-2ab) + (3a-6b)$.
В первой группе можно вынести $a$, во второй — $3$: $a(a-2b) + 3(a-2b)$.
Теперь появилась общая скобка $(a-2b)$: $(a-2b)(a + 3)$.
Если одинаковая скобка не получилась, нужно попробовать другую группировку.
Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения можно использовать в обратном направлении, чтобы сворачивать выражение в произведение.
Самые важные формулы:
- разность квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a + b)$;
- квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$;
- квадрат разности: $a^2-2ab + b^2 = (a-b)^2$;
- разность кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$;
- сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2-ab + b^2)$.
Чаще всего в 7 классе встречаются разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности.
Алгоритм разложения многочлена на множители
Чтобы не пропустить важный шаг, действуй по порядку.
- Проверь, есть ли общий множитель у всех слагаемых. Если есть, вынеси его за скобки.
- Посчитай количество слагаемых после вынесения общего множителя.
- Если осталось два или три слагаемых, проверь формулы сокращённого умножения.
- Если слагаемых четыре или больше, попробуй метод группировки.
- Проверь результат: внутри скобок не должно остаться выражений, которые можно разложить дальше.
Разбор задач
Посмотрим, как алгоритм работает на типичных школьных примерах.
Пример с общим множителем
Условие
Разложи на множители выражение $15a^2b + 10ab^2$.
Шаг 1. Находим наибольший общий делитель коэффициентов $15$ и $10$. Это число $5$.
Шаг 2. Ищем общие переменные с наименьшими степенями. Буква $a$ есть в обоих слагаемых, минимальная степень равна $1$. Буква $b$ тоже есть в обоих слагаемых, её минимальная степень равна $1$.
Общий множитель: $5ab$.
Шаг 3. Делим каждое слагаемое на $5ab$:
$15a^2b : 5ab = 3a$;
$10ab^2 : 5ab = 2b$.
Получаем: $15a^2b + 10ab^2 = 5ab(3a + 2b)$.
Проверка. Если умножить $5ab$ на каждое слагаемое в скобках, получится исходное выражение: $5ab \cdot 3a + 5ab \cdot 2b = 15a^2b + 10ab^2$.
Ответ: $5ab(3a + 2b)$.
Пример на группировку
Условие
Выполни преобразование выражения $ab-2b + 3a-6$.
Шаг 1. Общего множителя для всех четырёх слагаемых нет. Значит, используем группировку: $ab-2b + 3a-6 = (ab-2b) + (3a-6)$.
Шаг 2. В первой скобке выносим $b$, во второй — $3$: $(ab-2b) + (3a-6) = b(a-2) + 3(a-2)$.
Шаг 3. У двух слагаемых появился общий множитель $(a-2)$. Выносим эту скобку: $b(a-2) + 3(a-2) = (a-2)(b + 3)$.
Метод сработал, потому что после первого вынесения получились одинаковые скобки. Если бы скобки отличались, нужно было бы изменить группировку.
Ответ: $(a-2)(b + 3)$.
Пример с комбинированным подходом
Условие
Разложи многочлен $2x^3-18x$.
Шаг 1. Сначала ищем общий множитель. Оба коэффициента делятся на $2$, а переменная $x$ есть в каждом слагаемом. Выносим $2x$: $2x^3-18x = 2x(x^2-9)$.
Шаг 2. Проверяем скобку. Выражение $x^2-9$ можно разложить дальше, потому что это разность квадратов: $x^2-9 = x^2-3^2$.
Шаг 3. Применяем формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a + b)$: $x^2-9 = (x-3)(x + 3)$.
Получаем полный результат: $2x^3-18x = 2x(x-3)(x + 3)$.
В этом примере понадобились два приёма: сначала вынесение общего множителя, затем формула разности квадратов. Если остановиться на $2x(x^2-9)$, разложение будет неполным.
Ответ: $2x(x-3)(x + 3)$.
Типичные ошибки
Даже при знании правил легко потерять баллы из-за невнимательности. Проверь, не допускаешь ли ты эти ошибки.
Потеря единицы при вынесении множителя
Неверно: $x^2 + x = x(x)$.
Верно: $x^2 + x = x(x + 1)$.
При вынесении множителя мы делим каждое слагаемое на него. Если разделить $x$ на $x$, получится $1$, а не $0$. Единицу обязательно надо записать в скобках, иначе слагаемое пропадёт.
Неполное разложение
Разложи: $2x^2-32$.
Неверно: $2(x^2-16)$.
Верно: $2(x-4)(x + 4)$.
Скобка $x^2-16$ раскладывается по формуле разности квадратов, поэтому на ней нельзя останавливаться.
Ошибки со знаками
Неверно: $-a-b = -(a-b)$.
Верно: $-a-b = -(a + b)$.
Если выносишь минус за скобку, все знаки внутри скобки меняются на противоположные.
Практическая самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Разложи выражение: $7x^2-14x$.
Задание 2. Примени формулу разности квадратов: $25y^2-49$.
Задание 3. Разложи группировкой: $x^3 + 2x^2-4x-8$.
Решение к заданию 1. Выносим $7x$: $7x^2-14x = 7x(x-2)$.
Ответ: $7x(x-2)$.
Решение к заданию 2. Представляем $25y^2$ как $(5y)^2$, а $49$ как $7^2$: $25y^2-49 = (5y)^2-7^2 = (5y-7)(5y + 7)$.
Ответ: $(5y-7)(5y + 7)$.
Решение к заданию 3. Группируем первые два и последние два слагаемых: $x^3 + 2x^2-4x-8 = (x^3 + 2x^2) + (-4x-8)$.
Выносим общие множители: $x^2(x + 2)-4(x + 2)$.
Выносим общую скобку $(x + 2)$: $(x + 2)(x^2-4)$.
Скобку $x^2-4$ раскладываем как разность квадратов: $(x + 2)(x-2)(x + 2)$.
Можно записать короче: $(x + 2)^2(x-2)$.
Ответ: $(x + 2)^2(x-2)$.
Заключение
Разложение многочлена на множители помогает переходить от суммы к произведению скобок. Сначала всегда проверяй общий множитель, затем смотри на количество слагаемых и выбирай подходящий способ: формулы сокращённого умножения или группировку. Ответ считается полным, если ни одну скобку уже нельзя разложить дальше. Этот навык пригодится в уравнениях, алгебраических дробях и заданиях экзамена по математике. Чтобы закрепить тему, реши ещё несколько похожих примеров в «100балльном банке» и каждый раз проверяй ответ раскрытием скобок.
