Сложение и вычитание многочленов изучают в 7 классе, а затем используют в заданиях экзамена по математике на преобразование выражений. Основная трудность в этой теме — знак минус перед скобками: из-за него легко поменять знак только у первого слагаемого и получить неверный ответ. Разберём правила раскрытия скобок, порядок приведения подобных слагаемых и типичные ошибки. После статьи ты сможешь уверенно упрощать выражения с многочленами.
Базовая теория
Многочлен — это сумма нескольких одночленов. Одночлен состоит из чисел, переменных и их степеней, соединённых умножением.
Если сложить или вычесть два многочлена, результатом снова будет многочлен. Само действие обычно сводится к двум шагам: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Как раскрывать скобки
Есть два главных правила.
- Если перед скобками стоит знак плюс, скобки вместе с этим знаком можно убрать. Все знаки внутри скобок сохраняются: $+(2x-3y + 5) = 2x-3y + 5$.
- Если перед скобками стоит знак минус, скобки убираются, а знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные: $-(2x-3y + 5) =-2x + 3y-5$.
Иногда нужно выполнить обратное действие: заключить часть многочлена в скобки. Правила остаются теми же. Если перед скобками ставится плюс, знаки внутри не меняются. Если перед скобками ставится минус, знаки всех членов, которые попадают в скобки, меняются на противоположные.
Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями при этих буквах.
Например, $5x^2$ и $-3x^2$ — подобные слагаемые, а $5x^2$ и $5x$ — нет.
Алгоритм сложения и вычитания многочленов
Чтобы не запутаться в длинном выражении, действуй по порядку.
- Запиши сумму или разность многочленов, используя скобки.
- Раскрой скобки по правилу плюса или минуса.
- Найди подобные слагаемые.
- Сложи или вычти коэффициенты при подобных слагаемых.
- Запиши ответ в стандартном виде: обычно от старшей степени переменной к свободному члену.
Разбор задач
Сложение двух многочленов
Условие
Сложи многочлены $a^2-3ab + b^2$ и $3a^2 + 4ab-b^2 + 5$.
Шаг 1. Запишем сумму выражений. Для этого каждое выражение возьмём в скобки, а между ними поставим знак сложения: $(a^2-3ab + b^2) + (3a^2 + 4ab-b^2 + 5)$.
Шаг 2. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит плюс, поэтому все знаки внутри сохраняются: $a^2-3ab + b^2 + 3a^2 + 4ab-b^2 + 5$.
Шаг 3. Найдём подобные слагаемые:
- с $a^2$: $a^2$ и $3a^2$;
- с $ab$: $-3ab$ и $4ab$;
- с $b^2$: $b^2$ и $-b^2$.
Шаг 4. Приведем подобные:
- $a^2 + 3a^2 = 4a^2$;
- $-3ab + 4ab = ab$;
- $b^2-b^2 = 0$.
Шаг 5. Запишем ответ. Свободный член $5$ переносится в конец.
Ответ: $4a^2 + ab + 5$.
Вычитание многочленов
При вычитании чаще всего ошибаются со знаками. Нужно особенно внимательно раскрывать вторую скобку.
Условие
Найти разность многочленов $4x^3-5x^2 + x-2$ и $x^3-4x^2 + 3x-1$.
Шаг 1. Запишем разность многочленов: $(4x^3-5x^2 + x-2)-(x^3-4x^2 + 3x-1)$.
Шаг 2. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех членов внутри второй скобки: $4x^3-5x^2 + x-2-x^3 + 4x^2-3x + 1$.
Шаг 3. Приведём подобные слагаемые по степеням переменной $x$:
- кубы: $4x^3-x^3 = 3x^3$;
- квадраты: $-5x^2 + 4x^2 =-x^2$;
- первые степени: $x-3x =-2x$;
- свободные члены: $-2 + 1 =-1$.
Шаг 4. Запишем итоговый многочлен: $3x^3-x^2-2x-1$.
Ответ: $3x^3-x^2-2x-1$.
Заключение части многочлена в скобки
Иногда при упрощении выражений нужно объединить несколько членов в скобки. Используем те же правила, но в обратную сторону.
Условие
В многочлене $2x^3-4x^2 + 5x-1$ заключи в скобки три последних члена. В варианте «А» перед скобкой нужно поставить плюс, в варианте «Б» — минус.
Вариант А. Если перед скобкой стоит плюс, знаки членов сохраняются:
Ответ А: $2x^3 + (-4x^2 + 5x-1)$.
Вариант Б. Если перед скобкой стоит минус, знаки членов внутри скобки меняются на противоположные:
Ответ Б: $2x^3-(4x^2-5x + 1)$.
Типичные ошибки
Изменение знака только у первого слагаемого
Неверно: $-(2x + 3y) =-2x + 3y$.
Верно: $-(2x + 3y) =-2x-3y$.
Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри.
Сложение слагаемых с разными буквенными частями
Неверно: $2x^2 + 3x = 5x^3$.
Верно: $2x^2 + 3x$.
Слагаемые $x^2$ и $x$ не подобны, поэтому складывать их коэффициенты нельзя.
Потеря переменной при взаимном уничтожении
Неверно: $5ab-5ab = ab$.
Верно: $5ab-5ab = 0$.
Если коэффициенты равны по модулю, но противоположны по знаку, слагаемые уничтожают друг друга.
Самопроверка
Реши задания на черновике, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Раскрой скобки и упрости выражение: $(5y^2 + 2y) + (3y^2-2y)$.
Задание 2. Выполни вычитание: $(7m + 4n)-(2m-3n)$.
Задание 3. Выполни все действия: $(4x^2-2x + 8)-(3x^2-2x + 5) + (x^2-3)$.
Ответ к заданию 1. $8y^2$.
Слагаемые $2y$ и $-2y$ взаимно уничтожились.
Ответ к заданию 2. $5m + 7n$.
После раскрытия скобок получается: $7m + 4n-2m + 3n$.
Ответ к заданию 3. $2x^2$.
Раскроем скобки: $4x^2-2x + 8-3x^2 + 2x-5 + x^2-3$.
Слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются, свободные члены дают ноль: $8-5-3 = 0$.
Остаются квадраты: $4x^2-3x^2 + x^2 = 2x^2$.
Заключение
Теперь ты умеешь складывать и вычитать многочлены, раскрывать скобки со знаками плюс и минус, находить подобные слагаемые и записывать результат в стандартном виде. Главное правило темы: если перед скобками стоит минус, нужно поменять знак каждого слагаемого внутри. Эти навыки пригодятся в заданиях по математике на преобразование выражений и при решении уравнений. Чтобы закрепить тему, реши ещё несколько примеров на раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
