Многочлены: сложение и вычитание

1.8К 146 ~7 мин

Обновлено 09.08.2026

Средняя школа

7 класс

Дарья Максимова

Методист «100балльного репетитора» по математике

Сложение и вычитание многочленов изучают в 7 классе, а затем используют в заданиях экзамена по математике на преобразование выражений. Основная трудность в этой теме — знак минус перед скобками: из-за него легко поменять знак только у первого слагаемого и получить неверный ответ. Разберём правила раскрытия скобок, порядок приведения подобных слагаемых и типичные ошибки. После статьи ты сможешь уверенно упрощать выражения с многочленами.

Базовая теория

Многочлен — это сумма нескольких одночленов. Одночлен состоит из чисел, переменных и их степеней, соединённых умножением.

Если сложить или вычесть два многочлена, результатом снова будет многочлен. Само действие обычно сводится к двум шагам: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Как раскрывать скобки

Есть два главных правила.

Если перед скобками стоит знак плюс, скобки вместе с этим знаком можно убрать. Все знаки внутри скобок сохраняются: $+ (2 x - 3 y + 5) = 2 x - 3 y + 5$ .
Если перед скобками стоит знак минус, скобки убираются, а знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные: $- (2 x - 3 y + 5) = - 2 x + 3 y - 5$ .

Иногда нужно выполнить обратное действие: заключить часть многочлена в скобки. Правила остаются теми же. Если перед скобками ставится плюс, знаки внутри не меняются. Если перед скобками ставится минус, знаки всех членов, которые попадают в скобки, меняются на противоположные.

Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями при этих буквах.

Например, $5 x^{2}$ и $- 3 x^{2}$ — подобные слагаемые, а $5 x^{2}$ и $5 x$ — нет.

Алгоритм сложения и вычитания многочленов

Чтобы не запутаться в длинном выражении, действуй по порядку.

Запиши сумму или разность многочленов, используя скобки.
Раскрой скобки по правилу плюса или минуса.
Найди подобные слагаемые.
Сложи или вычти коэффициенты при подобных слагаемых.
Запиши ответ в стандартном виде: обычно от старшей степени переменной к свободному члену.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор задач

Сложение двух многочленов

Условие

Сложи многочлены $a^{2} - 3 a b + b^{2}$ и $3 a^{2} + 4 a b - b^{2} + 5$ .

Шаг 1. Запишем сумму выражений. Для этого каждое выражение возьмём в скобки, а между ними поставим знак сложения: $(a^{2} - 3 a b + b^{2}) + (3 a^{2} + 4 a b - b^{2} + 5)$ .

Шаг 2. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит плюс, поэтому все знаки внутри сохраняются: $a^{2} - 3 a b + b^{2} + 3 a^{2} + 4 a b - b^{2} + 5$ .

Шаг 3. Найдём подобные слагаемые:

с $a^{2}$ : $a^{2}$ и $3 a^{2}$ ;
с $a b$ : $- 3 a b$ и $4 a b$ ;
с $b^{2}$ : $b^{2}$ и $- b^{2}$ .

Шаг 4. Приведем подобные:

$a^{2} + 3 a^{2} = 4 a^{2}$ ;
$- 3 a b + 4 a b = a b$ ;
$b^{2} - b^{2} = 0$ .

Шаг 5. Запишем ответ. Свободный член $5$ переносится в конец.

Ответ: $4 a^{2} + a b + 5$ .

Вычитание многочленов

При вычитании чаще всего ошибаются со знаками. Нужно особенно внимательно раскрывать вторую скобку.

Условие

Найти разность многочленов $4 x^{3} - 5 x^{2} + x - 2$ и $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 1$ .

Шаг 1. Запишем разность многочленов: $(4 x^{3} - 5 x^{2} + x - 2) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 1)$ .

Шаг 2. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех членов внутри второй скобки: $4 x^{3} - 5 x^{2} + x - 2 - x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1$ .

Шаг 3. Приведём подобные слагаемые по степеням переменной $x$ :

кубы: $4 x^{3} - x^{3} = 3 x^{3}$ ;
квадраты: $- 5 x^{2} + 4 x^{2} = - x^{2}$ ;
первые степени: $x - 3 x = - 2 x$ ;
свободные члены: $- 2 + 1 = - 1$ .

Шаг 4. Запишем итоговый многочлен: $3 x^{3} - x^{2} - 2 x - 1$ .

Ответ: $3 x^{3} - x^{2} - 2 x - 1$ .

Заключение части многочлена в скобки

Иногда при упрощении выражений нужно объединить несколько членов в скобки. Используем те же правила, но в обратную сторону.

Условие

В многочлене $2 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1$ заключи в скобки три последних члена. В варианте «А» перед скобкой нужно поставить плюс, в варианте «Б» — минус.

Вариант А. Если перед скобкой стоит плюс, знаки членов сохраняются:

Ответ А: $2 x^{3} + (- 4 x^{2} + 5 x - 1)$ .

Вариант Б. Если перед скобкой стоит минус, знаки членов внутри скобки меняются на противоположные:

Ответ Б: $2 x^{3} - (4 x^{2} - 5 x + 1)$ .

Типичные ошибки

Изменение знака только у первого слагаемого

Неверно: $- (2 x + 3 y) = - 2 x + 3 y$ .

Верно: $- (2 x + 3 y) = - 2 x - 3 y$ .

Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри.

Сложение слагаемых с разными буквенными частями

Неверно: $2 x^{2} + 3 x = 5 x^{3}$ .

Верно: $2 x^{2} + 3 x$ .

Слагаемые $x^{2}$ и $x$ не подобны, поэтому складывать их коэффициенты нельзя.

Потеря переменной при взаимном уничтожении

Неверно: $5 a b - 5 a b = a b$ .

Верно: $5 a b - 5 a b = 0$ .

Если коэффициенты равны по модулю, но противоположны по знаку, слагаемые уничтожают друг друга.

Самопроверка

Реши задания на черновике, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Раскрой скобки и упрости выражение: $(5 y^{2} + 2 y) + (3 y^{2} - 2 y)$ .

Задание 2. Выполни вычитание: $(7 m + 4 n) - (2 m - 3 n)$ .

Задание 3. Выполни все действия: $(4 x^{2} - 2 x + 8) - (3 x^{2} - 2 x + 5) + (x^{2} - 3)$ .

Ответ к заданию 1. $8 y^{2}$ .

Слагаемые $2 y$ и $- 2 y$ взаимно уничтожились.

Ответ к заданию 2. $5 m + 7 n$ .

После раскрытия скобок получается: $7 m + 4 n - 2 m + 3 n$ .

Ответ к заданию 3. $2 x^{2}$ .

Раскроем скобки: $4 x^{2} - 2 x + 8 - 3 x^{2} + 2 x - 5 + x^{2} - 3$ .

Слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются, свободные члены дают ноль: $8 - 5 - 3 = 0$ .

Остаются квадраты: $4 x^{2} - 3 x^{2} + x^{2} = 2 x^{2}$ .

Заключение

Теперь ты умеешь складывать и вычитать многочлены, раскрывать скобки со знаками плюс и минус, находить подобные слагаемые и записывать результат в стандартном виде. Главное правило темы: если перед скобками стоит минус, нужно поменять знак каждого слагаемого внутри. Эти навыки пригодятся в заданиях по математике на преобразование выражений и при решении уравнений. Чтобы закрепить тему, реши ещё несколько примеров на раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.