Одночлены изучают в 7 классе, когда в алгебре появляется больше выражений с буквами и степенями. Эта тема нужна для дальнейшей работы с многочленами, формулами сокращённого умножения и уравнениями. На экзаменах по математике она встречается внутри заданий на преобразование алгебраических выражений. Разберём, как отличать одночлен от других записей, приводить его к стандартному виду, находить коэффициент и степень.
Что такое одночлен
Одночленом называют алгебраическое выражение, которое состоит из чисел, переменных и их степеней, соединённых только умножением.
Примеры одночленов:
- $5x$;
- $-3a^2b$;
- $14$;
- $y^3$.
Обычное число без букв и одиночная переменная тоже считаются одночленами.
Выражения со сложением, вычитанием или делением на переменную одночленами не являются. Например, записи $x + y$, $4-a$ и $\frac{5}{x}$ к одночленам не относятся.
Стандартный вид одночлена
В задачах часто встречаются громоздкие записи, например $2x \cdot 3x^2y$. Работать с ними неудобно, поэтому одночлены приводят к стандартному виду.
Одночлен записан в стандартном виде, если выполнены три условия:
- На первом месте стоит один числовой множитель, коэффициенты $1$ и $-1$ не записывают.
- После числа идут переменные, причём каждая буква встречается один раз.
- Одинаковые переменные собраны с помощью свойств степеней.
Например, приведём к стандартному виду выражение $4a \cdot 2b \cdot a$.
Сначала перемножаем числа: $4 \cdot 2 = 8$.
Затем собираем одинаковые буквы: $a \cdot a = a^2$.
Получаем: $8a^2b$.
Коэффициент одночлена
Коэффициент — это числовой множитель, который стоит перед буквами в одночлене стандартного вида.
Примеры:
- в одночлене $7x^2y$ коэффициент равен $7$;
- в одночлене $-5ab$ коэффициент равен $-5$;
- в одночлене $a^2b$ коэффициент равен $1$;
- в одночлене $-xy$ коэффициент равен $-1$.
Если перед переменными нет числа, подразумевается коэффициент $1$. Если перед переменными стоит только минус, коэффициент равен $-1$.
Степень одночлена
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его состав.
Разберём несколько случаев:
- в одночлене $5x^2y^3$ степень равна $2 + 3 = 5$;
- в одночлене $-7a$ степень равна $1$, потому что $a = a^1$;
- у числа без букв, например $15$, степень считается равной $0$.
Числовой коэффициент при подсчёте степени не учитывается. Нужно складывать только показатели степеней переменных.
Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду
Чтобы не запутаться в длинном выражении, действуй по шагам:
- Найди все числовые множители и перемножь их между собой, учитывая знаки.
- Запиши полученное число на первое место.
- Собери одинаковые переменные.
- При умножении степеней с одинаковым основанием сложи показатели.
- Запиши переменные после коэффициента.
Примеры решения задач
Приведение к стандартному виду
Условие
Приведи к стандартному виду выражение: $3x^2 \cdot (-4) \cdot y \cdot x^3$.
Шаг 1. Сначала работаем с числами: $3 \cdot (-4)=-12$.
Шаг 2. Теперь собираем одинаковые переменные. В выражении есть $x^2$ и $x^3$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $x^2 \cdot x^3 = x^{2 + 3} = x^5$.
Шаг 3. Переменная $y$ встречается один раз, поэтому переносим её без изменений.
Получаем: $-12x^5y$.
Ответ: $-12x^5y$.
Коэффициент и степень одночлена
Условие
Укажи коэффициент и степень одночлена: $-a^3b^4c$.
Шаг 1. В начале выражения стоит только минус. Значит, числовой множитель не записан явно, а коэффициент равен $-1$.
Шаг 2. Теперь найдём степень одночлена. Складываем показатели степеней всех переменных:
- у $a$ показатель равен $3$;
- у $b$ показатель равен $4$;
- у $c$ показатель равен $1$, потому что $c = c^1$.
Получаем: $3 + 4 + 1 = 8$.
Ответ: коэффициент равен $-1$, степень равна $8$.
Подстановка значений
Условие
Найди значение одночлена $\frac{1}{2}m^2n$, если $m=-4$, $n = 3$.
Шаг 1. Подставим числа вместо переменных: $\frac{1}{2} \cdot (-4)^2 \cdot 3$.
Шаг 2. Возведём отрицательное число в квадрат: $(-4)^2 = 16$.
Шаг 3. Теперь выполним умножение: $\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: $24$.
Типичные ошибки
Ошибка с невидимой единицей
Неверно: $x \cdot x^4 = x^4$.
Правильно: $x = x^1$, поэтому показатели нужно сложить: $x \cdot x^4 = x^1 \cdot x^4 = x^5$.
Ошибка с минусом при возведении в степень
Неверно: $(-3)^2=-9$.
Правильно: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.
Квадрат отрицательного числа положителен.
Ошибка при поиске коэффициента
Неверно считать, что коэффициент в выражении $-p^2q$ равен $2$.
Число $2$ — это показатель степени переменной $p$. Перед буквами стоит только минус, значит, коэффициент равен $-1$.
Ошибка с определением одночлена
Выражение $4a + 3b$ не является одночленом, потому что в нём есть сложение.
В одночлене допустимо только умножение чисел, переменных и их степеней.
Самостоятельная проверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Приведи к стандартному виду: $5a \cdot (-2) \cdot b^2 \cdot a^3$.
Задание 2. Назови коэффициент и степень выражения: $x^2y^5z$.
Задание 3. Вычисли значение выражения $-2a^3b$, если $a=-1$, $b = 5$.
Задание 4. Задание повышенной сложности: определи степень выражения $-4^3x^2y$.
Решение к заданию 1. Перемножаем числа: $5 \cdot (-2)=-10$. Складываем показатели степеней: $1 + 3 = 4$. Получаем: $-10a^4b^2$.
Ответ: $-10a^4b^2$.
Решение к заданию 2. Числа перед буквами нет, значит, коэффициент равен $1$. Степень равна: $2 + 5 + 1 = 8$.
Ответ: коэффициент равен $1$, степень равна $8$.
Решение к заданию 3. Подставляем значения: $-2 \cdot (-1)^3 \cdot 5$. Число $-1$ в кубе остаётся отрицательным: $(-1)^3=-1$. Вычисляем: $-2 \cdot (-1) \cdot 5 = 2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: $10$.
Решение к заданию 4. В выражении $-4^3x^2y$ показатель $3$ относится к числу $4$, а степень одночлена учитывает только показатели переменных. Складываем показатели переменных: $2 + 1 = 3$.
Ответ: степень равна $3$.
Заключение
Теперь ты знаешь, как отличать одночлены от других выражений и приводить их к стандартному виду. Ты умеешь находить коэффициент и степень одночлена, а также понимаешь, как работать с отрицательными числами и невидимыми степенями. Эти навыки пригодятся в заданиях по математике на преобразование алгебраических выражений. Чтобы закрепить тему, рекомендуем попрактиковаться на прототипах из нашего банка заданий.
