Одночлен и его стандартный вид в алгебре. Примеры и задачи для 7 класса

Одночленом называют алгебраическое выражение, которое состоит из чисел, переменных и их степеней, соединённых только умножением.

Примеры одночленов:

• $5x$;
• $-3a^{2}b$;
• $14$;
• $y^3$.

Обычное число без букв и одиночная переменная тоже считаются одночленами.

Выражения со сложением, вычитанием или делением на переменную одночленами не являются. Например, записи $x+y$, $4-a$ и $\frac{5}{x}$ к одночленам не относятся.

В задачах часто встречаются громоздкие записи, например $2x·3x^{2}y$. Работать с ними неудобно, поэтому одночлены приводят к стандартному виду.

Одночлен записан в стандартном виде, если выполнены три условия:

1. На первом месте стоит один числовой множитель, коэффициенты $1$ и $-1$ не записывают.
2. После числа идут переменные, причём каждая буква встречается один раз.
3. Одинаковые переменные собраны с помощью свойств степеней.

Например, приведём к стандартному виду выражение $4a·2b·a$.

Сначала перемножаем числа: $4·2=8$.

Затем собираем одинаковые буквы: $a·a=a^2$.

Получаем: $8a^{2}b$.

Коэффициент — это числовой множитель, который стоит перед буквами в одночлене стандартного вида.

Примеры:

• в одночлене $7x^{2}y$ коэффициент равен $7$;
• в одночлене $-5ab$ коэффициент равен $-5$;
• в одночлене $a^{2}b$ коэффициент равен $1$;
• в одночлене $-xy$ коэффициент равен $-1$.

Если перед переменными нет числа, подразумевается коэффициент $1$. Если перед переменными стоит только минус, коэффициент равен $-1$.

Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его состав.

Разберём несколько случаев:

• в одночлене $5x^2{y}^3$ степень равна $2+3=5$;
• в одночлене $-7a$ степень равна $1$, потому что $a=a^1$;
• у числа без букв, например $15$, степень считается равной $0$.

Числовой коэффициент при подсчёте степени не учитывается. Нужно складывать только показатели степеней переменных.

Чтобы не запутаться в длинном выражении, действуй по шагам:

1. Найди все числовые множители и перемножь их между собой, учитывая знаки.
2. Запиши полученное число на первое место.
3. Собери одинаковые переменные.
4. При умножении степеней с одинаковым основанием сложи показатели.
5. Запиши переменные после коэффициента.

Приведение к стандартному виду

Условие

Приведи к стандартному виду выражение: $3x^2·(-4)·y·x^3$.

Коэффициент и степень одночлена

Условие

Укажи коэффициент и степень одночлена: $-a^3{b}^{4}c$.

Подстановка значений

Условие

Найди значение одночлена $\frac{1}{2}{m}^{2}n$, если $m=-4$, $n=3$.

Ошибка с невидимой единицей

Неверно: $x·x^4=x^4$.

Правильно: $x=x^1$, поэтому показатели нужно сложить: $x·x^4=x^1·x^4=x^5$.

Ошибка с минусом при возведении в степень

Неверно: $(-3{)}^2=-9$.

Правильно: $(-3{)}^2=(-3)·(-3)=9$.

Квадрат отрицательного числа положителен.

Ошибка при поиске коэффициента

Неверно считать, что коэффициент в выражении $-p^{2}q$ равен $2$.

Число $2$ — это показатель степени переменной $p$. Перед буквами стоит только минус, значит, коэффициент равен $-1$.

Ошибка с определением одночлена

Выражение $4a+3b$ не является одночленом, потому что в нём есть сложение.

В одночлене допустимо только умножение чисел, переменных и их степеней.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Приведи к стандартному виду: $5a·(-2)·b^2·a^3$.

Задание 2. Назови коэффициент и степень выражения: $x^2{y}^{5}z$.

Задание 3. Вычисли значение выражения $-2a^{3}b$, если $a=-1$, $b=5$.

Задание 4. Задание повышенной сложности: определи степень выражения $-4^3{x}^{2}y$.

Теперь ты знаешь, как отличать одночлены от других выражений и приводить их к стандартному виду. Ты умеешь находить коэффициент и степень одночлена, а также понимаешь, как работать с отрицательными числами и невидимыми степенями. Эти навыки пригодятся в заданиях по математике на преобразование алгебраических выражений. Чтобы закрепить тему, рекомендуем попрактиковаться на прототипах из нашего банка заданий.