Биквадратные уравнения встречаются в курсе алгебры 8–9 классов и могут попасться в заданиях экзамена по математике, где нужно решить уравнение или выполнить преобразование выражения. Внешне это уравнения четвёртой степени, но для их решения не нужны новые формулы. Они сводятся к обычным квадратным уравнениям с помощью замены переменной. Главное — аккуратно выполнить обратную замену и не потерять корни со знаком минус.
Что такое биквадратное уравнение
Приставка «би» означает «дважды». Перед нами уравнение, похожее на квадратное, только вместо переменной стоит её квадрат: $x^2$.
Чтобы решить такое уравнение, вводят новую переменную: $x^2 = t.$
Тогда выражение $x^4$ можно записать как $(x^2)^2$, то есть как $t^2$. Исходное уравнение превращается в обычное квадратное: $at^2 + bt + c = 0.$
Здесь есть важное условие. Любое действительное число в квадрате даёт неотрицательное число. Значит, если $t = x^2$, то: $t \ge 0.$
Если при решении квадратного уравнения получилось отрицательное значение $t$, оно не подходит для исходного уравнения. Например, из $x^2 = -4$ нельзя получить действительные корни.
Количество корней зависит от найденных значений $t$:
- если оба значения $t$ положительные, получится четыре действительных корня $x$;
- если одно значение $t$ положительное, а второе отрицательное, получится два действительных корня $x$;
- если одно из значений $t$ равно нулю, количество корней может быть нечётным: уравнение $x^2 = 0$ даёт только один корень $x = 0$;
- если оба значения $t$ отрицательные, исходное уравнение не имеет действительных корней.
Как решать биквадратные уравнения
Используй один и тот же алгоритм.
- Введи замену $x^2 = t$ и подпиши условие $t \ge 0$.
- Перепиши исходное уравнение через $t$. Должно получиться квадратное уравнение.
- Найди корни этого уравнения: $t_1$ и $t_2$.
- Проверь условие $t \ge 0$. Отрицательные значения $t$ нужно отбросить.
- Вернись к переменной $x$: приравняй $x^2$ к подходящим значениям $t$.
- Реши полученные уравнения и запиши ответ.
Разбор задач
Пример с четырьмя корнями
Реши уравнение: $x^4-5x^2 + 4 = 0.$
Шаг 1. Вводим замену: $x^2 = t, \quad t \ge 0.$
Тогда получаем квадратное уравнение: $t^2-5t + 4 = 0.$
Шаг 2. Найдём корни. По теореме Виета сумма корней равна $5$, а произведение равно $4$: $t_1 = 4, \quad t_2 = 1.$
Оба значения положительные, значит, оба подходят.
Шаг 3. Возвращаемся к переменной $x$.
Первый случай: $x^2 = 4.$
Отсюда: $x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2.$
Второй случай: $x^2 = 1.$
Отсюда: $x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1.$
Ответ:$-2$, $-1$, $1$, $2$.
Пример с отрицательным значением замены
Реши уравнение: $x^4 + 3x^2-4 = 0.$
Шаг 1. Выполняем замену: $x^2 = t, \quad t \ge 0.$
Получаем уравнение: $t^2 + 3t-4 = 0.$
Шаг 2. По теореме Виета: $t_1 = 1, \quad t_2 = -4.$
Значение $t_2 = -4$ не подходит, потому что $t$ должно быть неотрицательным. Продолжаем работу только с $t_1 = 1$.
Шаг 3. Возвращаемся к переменной $x$: $x^2 = 1.$
Отсюда: $x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1.$
Ответ:$-1$, $1$.
Пример со сложной заменой
Метод замены переменной работает и с выражениями в скобках. Главный признак такой замены — в уравнении несколько раз повторяется один и тот же блок с неизвестной.
Реши уравнение: $(x^2-4x)^2-2(x^2-4x)-15 = 0.$
Шаг 1. Раскрывать скобки здесь неудобно. Выражение $x^2-4x$ повторяется два раза, поэтому заменим его целиком: $x^2-4x = t.$
В отличие от стандартной замены $x^2 = t$, выражение $x^2-4x$ может принимать отрицательные значения. Поэтому условие $t \ge 0$ здесь не записываем.
Шаг 2. Получаем квадратное уравнение: $t^2-2t-15 = 0.$
По теореме Виета: $t_1 = 5, \quad t_2 = -3.$
Шаг 3. Теперь возвращаемся к переменной $x$.
Первый случай: $x^2-4x = 5.$
Переносим $5$ в левую часть: $x^2-4x-5 = 0.$
$D = 16 + 20 = 36$,
$\sqrt{D} = 6$, тогда $x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2}$
Корни этого уравнения: $x = 5$ и $x = -1$.
Второй случай: $x^2-4x = -3.$
Переносим $-3$ в левую часть: $x^2-4x + 3 = 0.$
Корни этого уравнения: $x = 3, \quad x = 1.$
При обратной замене каждое уравнение решается отдельно. Может оказаться, что одно из них не имеет корней — тогда в ответ идут корни только второго.
Ответ: $-1$, $1$, $3$, $5$.
Типичные ошибки
При решении биквадратных уравнений чаще всего теряют баллы из-за невнимательности на последних шагах.
- Потеря отрицательного корня. Неверно: из $x^2 = 9$ записать только $x = 3$. Верно: $x = 3$ или $x = -3$.
- Остановка на значениях $t$. Неверно: найти $t_1 = 4$, $t_2 = 1$ и записать их в ответ. Верно: выполнить обратную замену и найти значения $x$.
- Игнорирование условия $t \ge 0$. Неверно: из $x^2 = -5$ записать $x = -\sqrt{5}$. Верно: указать, что уравнение $x^2 = -5$ не имеет действительных корней.
Проверь себя
Реши уравнения самостоятельно, а затем сверься с ответами.
1. Реши уравнение: $x^4-10x^2 + 9 = 0.$
2. Найди корни уравнения: $x^4 + 5x^2 + 6 = 0.$
3. Реши уравнение повышенной сложности: $(x^2-2x)^2-11(x^2-2x) + 24 = 0.$
Решение к заданию 1. После замены получатся значения: $t_1 = 9, \quad t_2 = 1.$
Итоговые корни: $-3, \ -1, \ 1, \ 3.$
Ответ: $-3$, $-1$, $1$, $3$.
Решение к заданию 2. После замены получатся отрицательные значения: $t_1 = -2, \quad t_2 = -3.$
Они не удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Ответ: действительных корней нет.
Решение к заданию 3.
Шаг 1. Нужно заменить скобку целиком: $x^2-2x = t.$
Получаем: $t_1 = 8, \quad t_2 = 3.$
Шаг 2. Возвращаемся к переменной $x$.
Первый случай: $x^2-2x = 8.$
$x^2-2x-8 = 0.$
Корни: $x = 4, \quad x = -2.$
Второй случай: $x^2-2x = 3.$
$x^2-2x-3 = 0.$
Корни: $x = 3, \quad x = -1.$
Ответ: $-2$, $-1$, $3$, $4$.
Заключение
Теперь ты умеешь сводить биквадратное уравнение к квадратному заменой $x^2 = t$, отбрасывать отрицательные значения $t$ и возвращаться к переменной $x$, не теряя корней со знаком минус. Этот же приём работает, когда в уравнении повторяется выражение в скобках, — но там условие $t \ge 0$ уже не ставится. Эти навыки пригодятся в школьной алгебре и при подготовке к экзаменам по математике.
