Гипербола

10 класс

Например, задача № 16 по математике

Забирай курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ с жирной скидкой

Введение

Функция обратной пропорциональности задаётся уравнением $$f(x) = \frac{k}{x},$$ а её графиком является гипербола (нет, не та, что в литературе любит всё преувеличивать).

Теория

Что важно знать про гиперболу для экзамена:

k — коэффициент обратной пропорциональности, отвечающий за расположение ветвей гиперболы.
Если k > 0, то ветви находятся в первой и третьей координатных четвертях.
Если k < 0, то ветви — во второй и четвёртой координатных четвертях.
Из-за знаменателя D(y): (-∞;0)(0;+∞) и появляется асимптота — прямая, к которой гипербола приближается, но никогда не сможет её достичь и пересечь. Причём асимптоты могут быть как горизонтальными (x = 0), так и вертикальными (y = 0). У графика функции $$f(x) = \frac{k}{x},$$ асимптоты — оси координат.
Если график смещается, то смещаются и асимптоты. Смещение происходит параллельно осям координат (то есть исходным асимптотам). В самом уравнении это отображается с помощью новых коэффициентов $$f(x) = \frac{k}{x + a} + b.$$
a — вертикальная асимптота, которая отвечает за смещение графика влево / вправо (изменение вдоль оси абсцисс, при котором добавляется число непосредственно к x).
b — горизонтальная асимптота, которая отвечает за смещение графика вверх / вниз (аналогично коэффициенту «без x» в линейной и квадратичной функции; изменение вдоль оси ординат, при котором добавляется число непосредственно к исходной f(x) = y).

Примеры заданий

Пример 1: На рисунке изображён график функции $$f(x)=\frac{k}{x}.$$ Найти $$f(0,5).$$

Решение:

Восстановим уравнение гиперболы с помощью точки, например, с координатами (1;5)
$$5=\frac{k}{1}⇒k=5$$
$$f(0,5) = \frac{5}{0,5} = 10.$$
Проверяем: коэффициент положительный, ветви в 1 и 3 четвертях (похоже на правду).

Ответ: 10.

Пример 2: На рисунке изображены графики функций

$f(x) = \frac{k}{x}$

$g(x) = ax+b,$

которые пересекаются в точках A и B. Найти абсциссу точки B.

Решение:

Восстановим уравнения прямой и гиперболы:

$f(x) = \frac{k}{x}:$ A(2;2)
$2 = \frac{k}{2}$
k = 4

$g(x) = ax+b:$ A(2;2)
a = -5 (через тангенс угла наклона)
$2 = -10+b$
b = 12

Приравняем уравнения графиков функций:

$\frac{4}{x} = -5x+12$
$(5x-2)(x-2) = 0$
x = 2 или x = 0,4

Абсцисса точки B равна x = 0,4.

Ответ: 0,4.

Пример 3: На рисунке изображён график функции $$f(x) = \frac{k}{x + a}.$$ Найти $$f(-2,5).$$

Решение:

Вот эта красавица — вертикальная асимптота!
Смотри: график сместился влево, произошло изменение вдоль оси абсцисс, а это значит, что число добавили непосредственно к x. Поэтому значение a = 3 — противоположному значению по x для асимптоты.

Восстановим уравнение гиперболы с помощью точки, например, с координатами (1;2):
$$1 = \frac{k}{2 + 3} \Rightarrow k = 5.$$

$$f(-2,5) = \frac{5}{-2,5 + 3} = 10.$$

Ответ: 10.

Пример 4: На рисунке изображён график функции $$f(x) = \frac{k}{x} + b.$$ Найти, при каком значении x значение функции равно -4,8.

Решение:

Вот и сестричка — не менее прекрасная горизонтальная асимптота!
Смотри: график сместился вниз, произошло изменение вдоль оси ординат, а это значит, что добавили число непосредственно к изначальной функции. Поэтому значение b = -4 — значению по y для асимптоты.

Восстановим уравнение гиперболы с помощью точки, например, с координатами (2; -5):
$$-5 = \frac{k}{2} — 4 \Rightarrow k = -2.$$

Проверяем: коэффициент отрицательный, ветви во 2 и 4 четвертях, что и видим на графике.

$$-4,8 = \frac{-2}{x} — 4 \Rightarrow x = 2,5.$$

Ответ: 2,5.