Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $45$ и меньше $120$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$.

а) Можно ли получить сумму $113$, если $n = 50$?

б) Можно ли получить сумму $114$, если $n = 50$?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если $n = 50$?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $340$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $3$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на $3$.

а) Может ли $N$ быть равным $240$?

б) Может ли $N$ быть равным $129$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $400$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $3$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на $3$.

а) Может ли $N$ быть равным $360$?

б) Может ли $N$ быть равным $149$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на $1615$ фотографию больше, чем Маша, и фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение пяти дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение шести дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше $30$ фотографий?